Дан ромб ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD, короткая диагональ равна стороне ромба.

1) Угол между векторами DB−→− и DC−→− равен
°;

2) угол между векторами AB−→− и DC−→− равен
°;

3) угол между векторами AB−→− и CA−→− равен
°;

4) угол между векторами AD−→− и DB−→− равен
°;

5) угол между векторами CA−→− и DB−→− равен
°.

Я это понимаю так: На отрезках АМ и МВ, как на сторонах, построены квадраты АМСД и МВЕF... Далее то тексту.

В прямоугольных треугольниках АМF и СМВ катеты FМ=МВ и АМ=СМ, значит тр-ки равны. ∠МСВ=∠FАМ.
В тр-ке СМВ ∠МСВ+∠СВМ=90°, значит ∠NАВ+∠NВА=90°, значит тр-ник АNВ - прямоугольный.
Треугольники АNВ и МСВ подобны по трём углам, значит NВ/МВ=АN/СМ, но СМ=АМ ⇒ NВ/МВ=АN/АМ. В тр-ке АNВ это тождество соответствует утверждению теоремы биссектрис, значит NМ - биссектриса тр-ка АNВ.
Во вписанном в окружность прямоугольном треугольнике АNВ АВ - диаметр, биссектриса АМ пересекает окружность в точке S, причём ∩AS=∩BS, так как на них опираются равные вписанные углы ANS и BNS.
Таким образом, точка S - середина дуги АВ. Это будет работать всегда, при любом положении точки М на отрезке АВ. Т.к. АВ - всегда диаметр одинаковой окружности, все прямые MN проходят через точку S.
Доказано.

1) KMNB параллелограмм - верно, так как BN║KM по условию и MN║KB  как основания трапеции.

2) KMNB ромб - неверно, так как MN ≠ KM по условию.

3) MNPB ромб - верно. MB║NP по условию, MN║BP как основания трапеции, значит MNPB - параллелограмм.
Смежные стороны у него равны (MN = NP по условию), значит MNPB - ромб.

4) ∠KBM = ∠MBN - неверно, так как в параллелограмме, который не является ромбом, диагонали не лежат на биссектрисах углов.

5) ∠MBN = ∠NBP - верно так как в ромбе диагонали лежат на биссектрисах его углов.