Дан тетраэдр SАВС. Медианы треугольника ВSС пересекаются в точке E, точка M – середина отрезка АE Выразите вектор ВM через векторы а = АВ, b = АС и с = АD.

Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство: рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ<АС+СВ

                             Отложим на продолжении стороны АС отрезок СД равный стороне СВ. В            равнобедренном треугольнике ВСД угол 1 = углу 2, а в треугольнике АВД угол АВД > угла 1 и значит угол АВД > угла 2. Так как в треугольнике против большого угла лежит большая сторона то АВ < АД. Но АД = АС + СД = АС + СВ, поэтому АВ< АС + СВ. Теорема доказана.

Привожу стандартный ход решения подобных задач. Хотя есть и более изящные решения)

Пусть О - центр данной окружности. Тогда АО и ВО - ее радиусы, АО = ВО.

Найдем радиус этой окружности.

Для этого рассмотрим треугольник АСD. Его площадь равна 1/2*16*28 = 224.

Сторона АС по теореме Пифагора из треугольника АРС равна 8√5

Сторона АD по теореме Пифагора из треугольника АРD равна 4√41

Радиус описанной возле него окружности равен 28*8√5*4√41/(4*224) = √205

Итак, радиус нашей окружности равен √205.

Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, так как АО = ВО как радиусы. Проведем в нем высоту ОЕ из вершины О. Тогда АЕ = 26/2 = 13, ОЕ = 16 - 13 = 3.

Найдем эту высоту.

По теореме Пифагора из треугольника АЕО (с прямым углом Е) имеем:

ОЕ^2 = 205 - 13^2 = 36, откуда ОЕ = 6.

Итак, в треугольнике РЕО искомое расстояние ОР - гипотенуза, РЕ = 3 - меньший катет, ОЕ = 6 - больший катет.

Находим искомое расстояние как гипотенузу этого треугольника:

ОР^2 = 36 + 9 = 45, откуда ОР = 3√5.

ответ: 3√5