Дан треугольник ABC, F ϵ AB, N ϵ AC, AB : AF = AC : AN = 9 : 4. Через прямую BC проходит плоскость β, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. 1) Докажите, что FN II β.

2) Найдите длину отрезка FN, если BC = 18 см.

я буду очень благодарна ❤️

​

№1. Треугольники ВКМ и BKN равны по стороне и двум прилежащим углам.

Значит BM = BN. Значит тр-ки BMN и АВС подобны по 1 признаку подобия(по 2-м пропорциональным сторонам и углу между ними.)

Значит у них равны все углы, то есть MN||АС, значит MN перпендикулярно ВК,

что и требовалось доказать.

Угол BNK = углу BMK = 110 град. (из равенства тех же тр-ов: BKM и BKN).  №2. Во влажениях! №3. В Δ АВС угол АВС равен
90-15=75° 
ВΔ ВАД угол АВД равен
75-15=60
ВДА=90-60=30°
АВ, как противолежащая углу 30, равна половине ВД.
ВД=2*3=6 см
Рассмотрим Δ ВДС.
В нем равные углы при основании ВС. 
Поэтому Δ ВДС - равнобедренный.
ДС=ВД=6 см.
Сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
Сторона ВД+ДС=12см
ВС < 12см
Длина стороны ВС не может быть равна 12 см    

Дано: < C =90° ; CB =a =6 см ; <ABC =β =60° ; <SAO =<SBO =<SCO = α =30° ;
S _ вершина пирамиды  SO ┴ (ABC) , O∈(ABC).
 
V =1/3*S(ABC) *SO ---> ?
Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом (в данном случае α =30° )   ,  то высота  пирамиды проходит через центр окружности , описанного около основания  . Здесь  этот центр O  середина  гипотенузы .
BA = BC/cosβ = a/cosβ ;
S(ABC) =1/2*BA*BC*sinβ = 1/2*a/cosβ*a*sinβ =1/2*a²*tqβ .
***   или S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*a*atqβ =1/2*a²*tqβ ***
SO = OB*tqα = 1/2*BA*tqα =1/2*a/cosβ*tqα ;
V =1/3*S(ABC) *SO = 1/3*1/2*a²*tqβ *1/2*a/cosβ*tqα  ;
V = (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ .                        ***1/12*a³*sinβ*tqα/cos²β ***

При   a =6 см ; β =60° ; α =30°  получится :
V= (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ =(1/12)*6³*tq60°*tq30°/cos60°  =(1/12)*6³ *2 =36 (см³) .

2)   R =OA =OB = 10 см  ;  <AOB =2α =2*60° =120°  ;  <O₁CD = β =30° ;
(ABB₁A₁) | | OO₁

S(ABB₁A₁) ---> ?
ABB₁A₁  прямоугольник .
S = S(ABB₁A₁) = AB*BB₁ =AB*H ;  AB _хорда на нижней основ;
Из    ΔAOB :      AB=2*(Rsinα) .
H = Rtqβ ;
S =AB*H=2*Rsinα*Rtqβ =2R²sinα*tqβ .
при  R =10 см  ,  α =60° ,   β =30° получится :
S  =2R²sinα*tqβ  =2*10²sin60°*tq30° =  2*10²*√3/2*1/√3 = 100 (см²) .
3) Дано: правильная пирамида FABC ,  F_вершина .
   
Доказать BF ┴ AC .
Пусть  FO  ┴  (ABC) , где  O основание  высоты  FO, т.е.  BO  проекция ребра  BF на плоскость  треугольника ABC . 
AC ┴ BM      [  BM  высота (медиана , биссектриса)  ] ⇒AC  ┴  BO    ⇒AC ┴ BF (теорема трех перпендикуляров) .