Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=5 см, а DC=16 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 126 см2.
Найди площадь большего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах.
2) Рассмотрим треугольники АOН и СOН. Их площади также равны, потому что ОН по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами. Значит S(AOH)=S(COH)
3) От первого равенства отнимем второе:
S(АОB)+S(AOH)-S(AOH)=S(СОB)+S(COH)-S(COH)
Значит, S(АОB)=S(СОB)
4) (Аналогично 1 пункту) Рассмотрим треугольники САМ и ВАМ. Их площади равны, так как у них равные основания (АМ - медиана) и одна и та же высота. Значит S(САМ)=S(ВАМ) или S(СОА)+S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ)
5) (Аналогично 2 пункту) Рассмотрим треугольники СОМ и ВОМ. Их площади также равны, потому что ОМ по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами. Значит S(СОМ)=S(ВОМ)
6) (Аналогично 3 пункту) От четвертого равенства отнимем пятое:
S(СОА)+S(СОМ)-S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ)-S(ВОМ)
Значит, S(СОА)=S(BОА)
7) Но так как S(АОB)=S(СОB) и S(СОА)=S(BОА), то S(АОB)=S(ВОС)=S(СОA). Доказано.
(Не знаю может есть и покороче, но что придумалось...)
Треугольники ВС1N и BAM подобны (прямоугольные с общим острым углом), поэтому BN/BC1 = BA/MB; или BN*MB = BC1*BA;
точно так же из подобия BNA1 и BCM BN*MB = BA1*BC;
можно, конечно, теперь начать вычислять отрезки, а можно заметить, что получилось BC1/BC = BA1/BA = 2/5; (ясно, что ВС1 = 2); то есть треугольники АВС и А1ВС1 подобны с коэффициентом подобия 2/5;
(Это довольно полезная штука, можно и запомнить - прямая, перпендикулярная радиусу описанной окружности, проведенному в вершину треугольника, отсекает от треугольника ему же подобный треугольник.)
Если обозначить площадь АВС как S, то площадь A1BC1 равна S*(2/5)^2;
а площадь четырехугольника AC1A1C равна S*(1 - (2/5)^2) = 21*S/25;
Остается найти площадь АВС по формуле Герона (например), она равна 6√6
(повторю из предыдущей задачи
p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2;
S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6;)
ответ 126√6/25;