Пусть имеем четырёхугольник АВСД. Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, - сумма противолежащих углов равна 180 градусов. Разделим его диагональю АС на 2 треугольника: АВС и АСД. Так как <D = 180-(<B), то cos D = -cos B. Выразим по теореме косинусов сторону АС из двух треугольников, обозначив АС=у, cos B = х, а cos Д = -х. у² = 3²+10² - 2*3*10*х = 109 - 60х, у² = 5² + 8² +2*5*8*х = 89 + 80х. Вычтем из второго уравнения первое: -20+140х = 0 или х = 20/140 = 1/7. Это cos B = 1/7, а cos Д = -1/7. Теперь можно найти значение диагонали АС: АС² = 109-60*(1/7) = (109*7 - 60) / 7 = 703/7 ≈ 10,021406.
Площадь заданного четырёхугольника определим как сумму площадей треугольников АВС и АСД, площадь которых найдём по формуле Герона. Полупериметр АВС = 11,510703, АСД = 11.510703.
Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как-то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY; Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр. Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим). Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.
Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, - сумма противолежащих углов равна 180 градусов.
Разделим его диагональю АС на 2 треугольника: АВС и АСД.
Так как <D = 180-(<B), то cos D = -cos B.
Выразим по теореме косинусов сторону АС из двух треугольников, обозначив АС=у, cos B = х, а cos Д = -х.
у² = 3²+10² - 2*3*10*х = 109 - 60х,
у² = 5² + 8² +2*5*8*х = 89 + 80х.
Вычтем из второго уравнения первое:
-20+140х = 0 или х = 20/140 = 1/7. Это cos B = 1/7, а cos Д = -1/7.
Теперь можно найти значение диагонали АС:
АС² = 109-60*(1/7) = (109*7 - 60) / 7 = 703/7 ≈ 10,021406.
Площадь заданного четырёхугольника определим как сумму площадей треугольников АВС и АСД, площадь которых найдём по формуле Герона.
Полупериметр АВС = 11,510703, АСД = 11.510703.
S(АВС) = √( 11.510703( 11.510703-3)( 11.510703-10)( 11.510703-10,021406)) = 14,8461498.
S(АСД) = √( 11.510703( 11.510703-5)( 11.510703-8)( 11.510703-10,021406)) = 19,7948664.
ответ: S(АВСД) = 14,8461498 + 19,7948664 = 34.641016 кв.ед.
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.