Дан треугольник abc. продолжим его сторону ab за вершину b отрезком bp таким, что bp=ab; сторону ac – за вершину a отрезком am таким, что am=ca; сторону bc – за вершину c отрезком kc таким, что kc=bc. во сколько раз площадь треугольника pkm больше площади треугольника abc?
1. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
2. Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.
Пусть площадь △ АВС=а
Рассмотрим треугольники АВС и МРС.
Через вершину В проведем ОН параллельно МС.
В треугольнике МРС отрезок РА - медиана, т.к. МА=АС; АВ=ВР по условию ⇒ ОН=АС и является средней линией △ МРС
Высота РТ △ МРС в два раза больше высоты h △ АВС, основание МС в два раза больше АС.
Следовательно, площадь МРС=4a
Рассмотрим треугольники АВС и МСК.
Основания ВС=СК, МС =2 АС, следовательно, и высота треугольника МСК из М вдвое больше высоты треугольника АВС, отсюда площадь △ МСК=2а
Рассмотрим треугольники АВС и РВС Основания АВ=ВР, высота из С у них общая.⇒S ВРС= S АВA=аТреугольники РВС и РСК равновелики - ВС=СК и высота РЕ из Р - общая. ⇒ площадь треугольника РСК=площади треугольника ВСР=а,
Итак,
S△МРС=4 а
S △ МСК =2а
S △ РСК=а ⇒
S △ РМК=4 а+2 а+ а=7а, из чего следует, что
площадь треугольника РМК в 7 раз больше площади треугольника АВС.