Дан треугольник abc с вершинами A(4;-3;2) ,B(1;2;2), C(6;5;4)
1) докажите перпендикулярность вектора AB и BC (через координаты)
2)найдите угол между ними (через длины векторов)

Рассмотрим тр-к АДС. Он равнобедренный, так как угол С равен 45 градусам, а угол Д равен 90 градусам. Тогда АД равно ДС равно 8 см. Площадь треугольника АВС равна АД умноженное на ВС и делённое на 2. 
ВС равно сумме ВД и СД ,т.е. ВС равно 14 см. Площадь треугольника АВС равна 56 см в квадрате.Также площадь тр-ка АВС равнв СЕ ( высота, проведенная к стороне АВ) умноженное на АВ (10 см) и деленное на 2. Отсюда СЕ равно площадь тр-ка АВС (56 см в кв) умножить на 2 и разделить на 10. Это равно 11,2 см. СЕ=11,2 см.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен 120°

тогда углы при основании <Вп=(180-120) /2 = 30

углы при  основании являются вписанными <Вп - опираются на хорды ( боковая сторона)

на эту же хорду/сторону  опирается центральный угол <Цн

центральный угол в 2 раза больше вписанного  <Цн =2* <Вп = 2*30=60 град

из центра описанной окружности  боковые стороны видны под углом 60 град

основание видно под углом 2*<Цн =2*60=120  град 

2.Треугольник АВС, 

уголА=36,

уголС=48, 

уголВ=180-36-48=96,

центр вписанной окружности О лежит на пересечении биссекрис,  треугольник АОС, 

уголАОС=180-1/2уголА-1/2уголС=180-18-24=138 - видна сторона АС, треугольник АОВ, 

уголАОВ=180-1/2уголА-1/2уголВ=180-18-48=114-видна сторона АВ, 

треугольник ВОС, уголВОС=180-1/2уголС-1/2уголВ=180-24-48=108 - видна стгорона ВС

3.четырехугольник АВСД вписан в окружность, уголА/уголВ/уголС=3/4/6=3х/4х/6х, 

около четырехугольника можно описать окружность при условии что сумма противоположных углов=180, 

уголА+уголС=180=уголВ+уголД, 3х+6х=4х+уголД, уголД=9х-4х=5х, 3х+6х=180, х=20, уголА=3*20=60, уголВ=4*20=80, уголС=6*20=120, уголД=5*20=100

4.AB+DC=AD+BC P=48 48:2=24 AB+DC=24 AD+BC=24 x+4 - AB x - CD x+x+4=24 x=10 14=AB 10=CD 1y - BC 2y - AD 1y+2y=24 y=8 8=BC 16=AD