Дан треугольник ABC такой, что AC = BC, ACB = 90°, AB = 10 см. Отрезок МС
перпендикуляр к плоскости ABC. Расстояние от
точки M до прямой AB равно 5 корней из 3 см. Найдите угол между прямой
AM и плоскостью ABC.​

1) 36 + 64 = 100 см - сумма периметров двух треугольников 
В эту сумму дважды включена искомая диагональ
2) 100 - 80 = 20 см - двойная диагональ
3) 20 : 2 = 10 см - искомая диагональ
ответ: 10 см

решения
a, b, c, d - стороны четырёхугольника
m - диагональ
1)  a + b + c + d = 80 см  - периметр четырёхугольника
2)  a + b + m = 36 -  периметр первого треугольника
3)  c + d + m  64 - периметр второго треугольника
4) a + b + m +  c + d + m = 36 +64 
    (a + b + c + d) + 2m = 100 
     80 + 2m = 100
              2m = 100 - 80
               2m = 20 
                 m = 20 : 2
                 m = 10 

Здесь удобно воспользоваться формулой : отрезок параллельный основаниями проходящий через точку пересечения диагоналей, концы которого лежат на боковых сторонах равен среднему гармоническому оснований. Т.е. он равен удвоенному произведению оснований деленному на их сумму. Теорему можно найти, но и несложно вывести. Тогда, обозначив неизвестное основание за х, получим :
1,6*(4+х)=8х
4+х=5х
х=1
Меньшее основание равно 1.
Расстояние между серединами диагоналей равно (средняя линия - меньшее основание)=(4+1)/2-1=1,5