В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, все углы равны 60°. а биссектриса является и медианой и высотой. Поэтому она делит такой треугольник на два равных прямоугольных.
Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота - один катет, половина стороны - другой катет, сторона - гипотенуза.
По т.Пифагора а²=(a/2)²+h²
откуда а²=4h²/3
Заменив в этом выражение h на 12√3, получим
а²=4•12*•3/3=4•12², откуда
а=√(4•12*)=2•12=24 (ед. длины)
-----------------
Короткое решение:
Биссектриса (медиана, высота) равностороннего треугольника h=а•sin60°, откуда
Площадь равна S=r*a+r*(b+c)=b*c*sin(A)/2 По теорем косинусов а*a=b*b+c*c-2bc*cos(A) Есть два уравнения и два неизвестных. Перепишем теорему косинусов так а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1) (b+c)=bc*sin(A)/2r-a
ПОПРОБУЕМ:
а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1) (b+c)=bc*sin(A)/2r-a (b+c)=x bc=(xr+ar)/sinA a*a=x*x-2*(xr+ar)*(cosA+1)/sinA a*a=x*x-2(x+a)r*ctg(A/2) x*x-2x *ctgA/2r=a*a+2a*r*ctgA/2 (x-ctg(A/2)*r)^2=a*a+2a*r*ctgA/2+(ctg(A/2)*r)^2 (x-ctg(A/2)*r)^2=(a+ctg(A/2)*r)^2 x=a+2r*ctg(A/2) (b+c)= a+2r*ctg(A/2) (вот это, наверное, ввиду простоты выражения , можно было бы и из каких-то иных геометрических соображений получить) (b-c)^2= b*b-2bc+c*c= (a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA (b-c)=sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))
Конечно, когда решали квадратное уравнение, могли и другие корни посмотреть Получили бы еще и симметричное решение. b и c равноправны и их можно поменять местами. Извините , за некрасивый ответ. Надеюсь, правильный.
В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, все углы равны 60°. а биссектриса является и медианой и высотой. Поэтому она делит такой треугольник на два равных прямоугольных.
Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота - один катет, половина стороны - другой катет, сторона - гипотенуза.
По т.Пифагора а²=(a/2)²+h²
откуда а²=4h²/3
Заменив в этом выражение h на 12√3, получим
а²=4•12*•3/3=4•12², откуда
а=√(4•12*)=2•12=24 (ед. длины)
-----------------
Короткое решение:
Биссектриса (медиана, высота) равностороннего треугольника h=а•sin60°, откуда
a=h:sin60°
a=12√3:(√3/2)=24
По теорем косинусов а*a=b*b+c*c-2bc*cos(A)
Есть два уравнения и два неизвестных.
Перепишем теорему косинусов так
а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1)
(b+c)=bc*sin(A)/2r-a
ПОПРОБУЕМ:
а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1)
(b+c)=bc*sin(A)/2r-a
(b+c)=x
bc=(xr+ar)/sinA
a*a=x*x-2*(xr+ar)*(cosA+1)/sinA
a*a=x*x-2(x+a)r*ctg(A/2)
x*x-2x *ctgA/2r=a*a+2a*r*ctgA/2
(x-ctg(A/2)*r)^2=a*a+2a*r*ctgA/2+(ctg(A/2)*r)^2
(x-ctg(A/2)*r)^2=(a+ctg(A/2)*r)^2
x=a+2r*ctg(A/2)
(b+c)= a+2r*ctg(A/2)
(вот это, наверное, ввиду простоты выражения , можно было бы и из каких-то иных геометрических соображений получить)
(b-c)^2= b*b-2bc+c*c= (a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA
(b-c)=sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))
b= (a+2r*ctg(A/2) )/2+ sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2
c=(a+2r*ctg(A/2) )/2- sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2
Конечно, когда решали квадратное уравнение, могли и другие корни посмотреть
Получили бы еще и симметричное решение. b и c равноправны и их можно поменять местами.
Извините , за некрасивый ответ. Надеюсь, правильный.