В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, угол C=90°, угол А=30°, BC=10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Если боковые реба пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то вокруг основания можно описать окружность, и основание высоты пирамиды находится в центре этой окружности. Центр О описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит в середине его гипотенузы. Катет ВС=10, противолежит углу 30°, след. гипотенуза АВ=2*10=20 Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей его граней, площадь каждой из них найдем по формуле S=ah. Для грани, основанием которой является гипотенуза, высота равна 5. S Δ ADB=DO*AB:2=5*20:2=50 Для треугольника CDB высота DK²=DO²+OK² ОК=АС:2 АС=АВ*sin (60)=10√3 ОК=5√3 DK=√(25+ 75)=10 S ΔCDB=10*10:2=50 Для АDC высота DM²=DO²+OM²=√50=5√2 S ADC=AC*DM:2=25√6 Площадь боковой поверхности пирамиды Sбок DАВС=S ADB+SCDB+S ADC=100+25√6
Все этапы построения показаны на рисунках приложения.
Этап 1) Вне прямой а отмечаем точку О.
Из О на прямой а с циркуля произвольного традиуса отмечаем точки 1 и 2.
Из этих точек, как из центров, проводим две окружности так, чтобы они пересеклись по разные стороны от прямой а. Соединим точки пересечения окружностей прямой. Точку пересечения этой прямой с прямой а обозначим 3.
–––––
Этап 2) Из т.О радиусом, равным длине отрезка О3, проведем окружность.
Из т.3 тем же радиусом на проведенной окружности отметим точку 4. Стороны треугольника 4О3 равны радиусу, он - равносторонний, поэтому угол 4О3=60°
––––––––––
Этап 3) Продлим радиус О4 (удобно продлить на его длину) и отметим точку 5. Для данной задачи точка 5 будет лежать на прямой а, т.к. в прямоугольном ∆ 3О5 с острым углом при т.О=60° гипотенуза О5 равна двум радиусам ( двум катетам О3).
Общепринятым построения перпендикуляра к прямой проведем прямую, проходящую через т.4 и перпендикулярную к отрезку О5 (чертим окружности с центрами в т.О и т.5, точки их пересечения 6 и 7 соединяем). Отмечаем прямую а1. Она перпендикулярна радиусу О4 и повёрнута вокруг т.О на 60° по часовой стрелке.
Если боковые реба пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то вокруг основания можно описать окружность, и основание высоты пирамиды находится в центре этой окружности.
Центр О описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит в середине его гипотенузы.
Катет ВС=10, противолежит углу 30°, след. гипотенуза
АВ=2*10=20
Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей его граней,
площадь каждой из них найдем по формуле
S=ah.
Для грани, основанием которой является гипотенуза, высота равна 5.
S Δ ADB=DO*AB:2=5*20:2=50
Для треугольника CDB высота
DK²=DO²+OK²
ОК=АС:2
АС=АВ*sin (60)=10√3
ОК=5√3
DK=√(25+ 75)=10
S ΔCDB=10*10:2=50
Для АDC высота
DM²=DO²+OM²=√50=5√2
S ADC=AC*DM:2=25√6
Площадь боковой поверхности пирамиды
Sбок DАВС=S ADB+SCDB+S ADC=100+25√6
Все этапы построения показаны на рисунках приложения.
Этап 1) Вне прямой а отмечаем точку О.
Из О на прямой а с циркуля произвольного традиуса отмечаем точки 1 и 2.
Из этих точек, как из центров, проводим две окружности так, чтобы они пересеклись по разные стороны от прямой а. Соединим точки пересечения окружностей прямой. Точку пересечения этой прямой с прямой а обозначим 3.
–––––
Этап 2) Из т.О радиусом, равным длине отрезка О3, проведем окружность.
Из т.3 тем же радиусом на проведенной окружности отметим точку 4. Стороны треугольника 4О3 равны радиусу, он - равносторонний, поэтому угол 4О3=60°
––––––––––
Этап 3) Продлим радиус О4 (удобно продлить на его длину) и отметим точку 5. Для данной задачи точка 5 будет лежать на прямой а, т.к. в прямоугольном ∆ 3О5 с острым углом при т.О=60° гипотенуза О5 равна двум радиусам ( двум катетам О3).
Общепринятым построения перпендикуляра к прямой проведем прямую, проходящую через т.4 и перпендикулярную к отрезку О5 (чертим окружности с центрами в т.О и т.5, точки их пересечения 6 и 7 соединяем). Отмечаем прямую а1. Она перпендикулярна радиусу О4 и повёрнута вокруг т.О на 60° по часовой стрелке.