Дан треугольник KPF, в котором
KT, PC и FM – медианы.Даны стороны треугольников. Пропорциональны ли они?
а) 3 см, 4 см, 5 см и 4,5 см, 7,5 см, 6 см
Найдите KO, если OT=3 см.
Решение:...
В треугольнике PQR биссектриса RT
делит сторону PQ на отрезки PT и TQ.
Найдите PT, если TQ=3 см, PR=8 см,
QR=12 см.
Пусть АО - перпендикуляр к плоскости α. Значит АО - искомое расстояние.
Тогда ВО и СО - проекции наклонных АВ и АС на плоскость.
19 > 2√70, а большей наклонной соответствует большая проекция, если наклонные проведены из одной точки.
Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда ОС = 5х, ОВ = 4х.
Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС выразим АО по теореме Пифагора:
АО² = АВ² - ВО² = 280 - 16х²
АО² = АС² - СО² = 361 - 25х²
280 - 16x² = 361 - 25x²
9x² = 81
x² = 9
x = 3 (x = - 3 не подходит по смыслу задачи)
АО² = 280 - 16 · 3² = 280 - 144 = 136
АО = √136 = 2√34 см
Найти: r - ?; длину линии касания
Для решения нужно провести сечение конуса по диаметру основания, в сечении будет равнобедренный ΔBCA
ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
OA² = AC² - h² = 100 - 64 = 36 = 6²
OA = 6 мм
ΔBCA равнобедренный ⇒ BA = 2·OA= 2·6 = 12 мм
Площадь треугольника
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
16r = 48 ⇒ r = 3 мм
Длина касания - это длина окружности
с центром в точке P и радиусом KP
ΔDKC - прямоугольный, т.к. DK - радиус в точку касания K
ΔBOC подобен ΔCKD по двум углам, прямому и общему ∠KCD
ΔBOC подобен ΔKPC по двум углам, прямому и общему ∠KCD
Длина окружности с центром в точке Р
L = 2π·KP = 2·π·2,4 = 4,8π
ответ: радиус вписанного шара 3 мм;
длина линии касания 4,8π мм