Дан выпуклый четырехугольник ABCD, длина стороны AB равна 6, диагонали AC -- 5, ∠CAD=15∘,∠CBA=30∘,∠ACD=45∘. Пусть PQ -- срединный перпендикуляр к стороне AB(с основанием в точке P), QD -- биссектриса ∠ADC. Найдите расстояние PQ.

Пусть OO₁ = x (см. чертеж)

Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:

O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)

SO₁ = 1 + x - высота конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота

В нашем случае:

V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)

Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1

f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!

Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:

V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π

а) AB=CD=10см

   BC=AD=20см

б) ABC=CDA=120 градусов

   BAD=BCD=60 градусов

Объяснение:

когда мы провели биссектрису  MD у нас получился равносторонний треугольник у которого все стороны одинаковые: CD=DM=MC=10см и углы равняются 60 градусам: DMC=MCD=CDM=60 градусам. теперь нам известно, что стороны CD=BA=10см по скольку эти стороны параллельные. в суме эти два угла дают 20 см. чтобы найт другую сторону параллелограмма нам надо от периметра отнять 20 см и поделить на 2:  (60-20):2=20 - сторона BC (AD)  .углы  MCD=BAD=60 градусам. чтобы найти углы ABC и BCD мы от 180 градусов отнимаем угол ABC (BCD) (потому что углы на одной стороне параллелограмма равны 180 градусам): ABC (BCD)= 180-60=120 градусов