Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства четырёхугольной пирамиды.
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, треугольник BCD прямоугольный, поэтому можем применить эту теорему, считая стороны AB, BC и BD катетами.
По условию, сторона AB равна 4, а сторона BC равна 2. Поэтому мы можем записать уравнение:
AB² = BC² + AC².
Так как М - середина стороны AD, то AM = MD = AD/2. Обозначим MD через x.
Так как треугольник AMB прямоугольный и его гипотенуза (сторона AB) равна 4, то можем применить теорему Пифагора для него.
AB² = AM² + MB².
Так как AM = MD = x, и у нас есть выражение для AB² (4), можем записать уравнение:
4 = x² + MB². (Уравнение 1)
Воспользуемся свойством четырёхугольной пирамиды: сумма квадратов длин боковых рёбер (BC и MD) равна сумме квадратов длин диагоналей пирамиды (AC и BD).
BC² + MD² = AC² + BD².
Подставим известные значения:
2² + x² = AC² + 4².
Учитывая, что AC² = AD² - CD² и AD = 2AB = 8, CD = BC = 2, можем записать уравнение:
4 + x² = (8)² - (2)²,
4 + x² = 64 - 4,
x² = 64 - 4 - 4,
x² = 56.
Чтобы найти x, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:
x = √56,
x ≈ 7.483.
Таким образом, длина MD около 7.483.
