Дана окружность (o; oc). из точки m, которая находится вне окружности, проведена секущая mb и касательная mc. od — перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей mb и равный 5 см. найди радиус окружности, если известно, что mb равен 25 см и mc равен 5 см.
∠BAD+∠BCD = 180°;
∠BCA = 180°-∠BAD = 180°-120° = 60°
Вписанные углы опирающиеся на одну дугу равны.∠CAD - вписанный и опирается на ∪CD
∠CBD - вписанный и опирается на ∪CD
∠CAD = ∠CBD
По теореме синусов в треугольнике CBD:
По основному тригонометрическому тождеству (sin²α+cos²α=1):Пусть BC=x, тогда 0<x<4.
Рассмотрим случай, когда cos(CBD) = 1/7По теореме косинусов в треугольнике CBD:
x²-2x-15 = 0
D = (-2)²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²
x₁ = (2+8)/2 = 10/2 = 5
x₂ = (2-8)/2 = -6/2 = -3
Ни один корень не подходит под условие 0<x<4.
Теперь случай, когда cos(CBD) = -1/7По теореме косинусов в треугольнике CBD:
x²+2x-15 = 0
D = 2²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²
x₃ = (-2+8)/2 = 6/2 = 3
x₄ = (-2-8)/2 = -10/2 = -5
0 < x₃ < 4
x = 3 удовлетворяет условию, значит cos(CBD) = -1/7.
cos(CBD) < 0, а sin(CBD) > 0. Поэтому ∠CBD - угол второй четверти, тогда ∠CBD = arccos(-1/7)
∠CAD = arccos(-1/7)
ответ: arccos(-1/7).
Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.