Дана пирамида abcd, с координатами основания a(7,7,3), в(6,5,8), с(3,5,8) и вершиной d(8,4,1).
пользуясь векторной найти длину высоты, опущенной из вершины d на грань abc. сделать чертеж.

.

Даны координаты A(7,7,3), В(6,5,8), С(3,5,8) и  D(8,4,1).

Находим векторы:

                                     x      y     z Квадрат Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}  -1      -2       5       30      5,4772

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}  -4   -2      5       45      6,7082.

Их векторное произведение равно: АВ х АС =

= i        j         k |         i          j

-1       -2        5 |       -1        -2

-4      -2        5 |      -4        -2   =     -10i - 20j + 2k  +  5j + 10i - 8k =

= 0i - 15j - 6k  =  (0; -15; -6).

Площадь основания (АВС) равна половине модуля:

S(ABC) = (1/2)*√(0 + 225 + 36) = (1/2)*√261 = (3/2)√29 ≈ 8,0778.

Находим вектор AD:

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA  (1      -3    -2)  = √ 14  ≈ 3,742.  

Находим смешанное произведение:

АВ х АС = (0; -15; -6).

АD = (1; -3;  -2).

(АВ х АС) * АD = 0 + 45 + 12 = 57.

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения:

V = (1/6)*57 = 57/6 = 19/2 = 9,5 куб.ед.

Теперь определяем искомую высоту из вершины D на АВС.

Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/2)/((3/2)√29) = 19√29/29 ≈ 3,528.