Дана площадь треугольника KPN — 288 см2 . Известно, что точка B — серединная точка отрезка NP . Хватает ли данной информации для определения площади прямоугольника KLMN ?
Обозначим трапецию АВСД, с большим основанием АД. Тогда опустим из угла С высоту СК к этому основанию. Получим треугольник СКД. Это равнобедренный треугольник,т.к угол СКД 90 градусов, а СДК 45(соответственно, другой угол тоже 45) Сторона СК=АВ=9см (т.к получается,что это стороны прямоугольника АВСК. Соответственно, сторона КД=СК=9см(тк треугольник равнобедренный). Сторона АД=23 см, а КД=9 см, тогда найдем длину АК: 23-9=14 см. Вернемся к прямоугольнику АВСК, в котором ВС=АК=14см. При этом, сторона ВС является меньшим основанием трапеции.
Объяснение: обозначим вершины параллелограмма А В С Д, а его высоты ВН1 и ВН2. Пусть одна его стороны АВ=СД=а, вторые ВС=АД=b. Зная, что площадь параллелограмма - это произведение его стороны и высоты, которая проведена к стороне, составим уравнение согласно формуле площади:
S=b×BH1. Так как площадь будет одинаковой независимо от того какой вариант мы выберем, то:
b×BH1=a×ВН2
4b=12√3a
b=12√3a/4
b=3√3a
Высота ВН1 образует прямой угол 90° также со стороной ВС, поэтому
угол СВН=90-60=30°. Рассмотрим полученный ∆СВН2. Он прямоугольный где ВН2 и СН2 -катеты, а ВС- гипотенуза. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол С=90-30=60° . В параллелограмме противоположные углы между собой равны, поэтому
угол А=углу С=60°. Рассмотрим полученный ∆ АВН1. Он прямоугольный, где АН1 и ВН1 катеты, а АВ - гипотенуза. Угол АВН=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому АН=а/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН1²=ВН1²
а²-а²/2²=4²
а²-а²/4=16. Здесь ищем общий знаменатель и получаем:
(4а²-а²)/4=16
3а²/4=16
3а²=4×16
3а²=64
а²=64/3
а=√64/3
а=8/√3
Если сторона а=8/√3, тогда
сторона b=8/√3×3√3=24
Теперь найдём площадь параллелограмма, зная его стороны:
ответ: S=96
Объяснение: обозначим вершины параллелограмма А В С Д, а его высоты ВН1 и ВН2. Пусть одна его стороны АВ=СД=а, вторые ВС=АД=b. Зная, что площадь параллелограмма - это произведение его стороны и высоты, которая проведена к стороне, составим уравнение согласно формуле площади:
S=b×BH1. Так как площадь будет одинаковой независимо от того какой вариант мы выберем, то:
b×BH1=a×ВН2
4b=12√3a
b=12√3a/4
b=3√3a
Высота ВН1 образует прямой угол 90° также со стороной ВС, поэтому
угол СВН=90-60=30°. Рассмотрим полученный ∆СВН2. Он прямоугольный где ВН2 и СН2 -катеты, а ВС- гипотенуза. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол С=90-30=60° . В параллелограмме противоположные углы между собой равны, поэтому
угол А=углу С=60°. Рассмотрим полученный ∆ АВН1. Он прямоугольный, где АН1 и ВН1 катеты, а АВ - гипотенуза. Угол АВН=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому АН=а/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН1²=ВН1²
а²-а²/2²=4²
а²-а²/4=16. Здесь ищем общий знаменатель и получаем:
(4а²-а²)/4=16
3а²/4=16
3а²=4×16
3а²=64
а²=64/3
а=√64/3
а=8/√3
Если сторона а=8/√3, тогда
сторона b=8/√3×3√3=24
Теперь найдём площадь параллелограмма, зная его стороны:
S1=8/√3×12√3=96
S2=24×4=96