Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S, стороной основания 12 и боковым ребром 24. На ребре SC выбрали точку К, отстоящую от вершины S на расстояние, равно 6. Через точку К и D перпендикулярно основанию пирамиды проведена плоскость а А) Док-ть, что линия пересечения плоскости а с плоскостью основания пересекает отрезок АВ в его середине
Б) Найдите объем пирамиды KABCD
Из условия известно, что основание пирамиды - шестиугольник ABCDEF, и его сторона равна 12. Также дано, что боковое ребро (ребро, соединяющее вершину S с точкой на основании) равно 24.
Поскольку пирамида правильная, высота пирамиды расположена перпендикулярно основанию и проходит через ее центр. Предположим, что центр основания пирамиды - точка O. Тогда линия OD будет перпендикулярна основанию пирамиды и проходит через точку D.
Поскольку SC = 24 и SK = 6, сумма этих длин равна 30. Заметим, что SK является высотой треугольника SKO, а O - центр основания пирамиды, поэтому длины SO и KO также могут быть найдены по теореме Пифагора.
Из этого следует, что SO = √(24^2 - 6^2) = √(576 - 36) = √540 = 18√5.
Также, так как SK и KO взаимно перпендикулярны, OD можно найти как √(30^2 - 18√5^2) = √(900 - 180*5) = √(900 - 900) = 0.
Теперь давайте рассмотрим плоскость а. Для этого соединим точки K и D прямой линией. Так как OD = 0, этот отрезок будет лежать на плоскости основания пирамиды. Теперь соединим точку D с центром основания O.
Так как прямая OD перпендикулярна плоскости основания пирамиды, она пересекает ее в точке, которая является серединой отрезка AB. Другими словами, линия пересечения плоскости а с плоскостью основания пересекает отрезок АВ в его середине. Таким образом, утверждение А доказано.
Б) Чтобы найти объем пирамиды KABCD, мы можем использовать формулу V = (B * h) / 3, где B - площадь основания и h - высота пирамиды.
Поскольку пирамида KABCD - правильная шестиугольная пирамида, ее высота равно SK = 6. Для нахождения площади основания B мы можем разделить шестиугольник ABCDEF на 6 равносторонних треугольников и найти площадь одного из них.
Так как сторона шестиугольника равна 12, высота одного из равносторонних треугольников будет равна (сторона * √3) / 2 = (12 * √3) / 2 = 6√3. Таким образом, площадь одного из треугольников может быть вычислена как (сторона * высота) / 2 = (12 * 6√3) / 2 = 36√3.
Так как пирамида KABCD состоит из 6 таких треугольников, площадь основания B будет равна 6 * 36√3 = 216√3.
Теперь мы можем вычислить объем пирамиды: V = (B * h) / 3 = (216√3 * 6) / 3 = 36√3 * 2 = 72√3.
Таким образом, объем пирамиды KABCD равен 72√3.