Дана точка A и дано геометрическое место точек M: A = (3, -5, 7), M = {P ∈ Ω | точка P является серединой некоторого отрезка AB, конец B Которого лежит в координатной плоскости Oxy}. Найти уравнение ГМТ M.
1) Cумма углов треугольника: 180. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов изначально равен 90, то сумма двух остальных (А+В) тоже равна 90. Отсюда уравнение:
А+В=90. Поскольку у нас есть отношение этих углов, то обозначим угол А за х , а угол В за 2х.
х+2х=90; 3х=90; х= 30.
Итак, угол А равен 30, а угол В равен 60.
2) Углы САВ и ВАД смежные и их сумма равна 180. Выходит, что угол САВ = 180-ВАД = 180-120 = 60.
Поскольку угол САВ = 60, то угол СВА = 90-60 = 30(исходя из объяснения в первом пункте).
Мы имеем свойство, что против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы. То-есть, АС = АВ/2 = 13/2 = 6.5.
3) Рассмотрим треугольник СДВ. Если угол В равен 45, то угол С так же равен 45. Выходит, что треугольник СДВ - равнобедренный (СВ - его основание).
Поскольку СД = 8, то ДВ = СД = 8.
Рассмотрим треугольник АСВ. В нем угол В равен 45, значит угол А так же равен 45.
Теперь рассматриваем треугольник АДС. В нем угол А равен 45, тогда и угол С так же равен 45. Выходит, что треугольник СДА так же равнобедренный (АС - основание). Получаем, что СД=АД=8.
Треугольник АДВ - равнобедренный , поэтому угол АВД = ДАВ. Если угол АДВ = 50, то АВД + ДАВ = 180-50 = 130. Выходит, что углы АВД и ДАВ по 65 градусов (ДАВ это и есть наш угол А).
1) 30; 60.
2) 6.5
3) 16
4) 65; 90
Объяснение:
1) Cумма углов треугольника: 180. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов изначально равен 90, то сумма двух остальных (А+В) тоже равна 90. Отсюда уравнение:
А+В=90. Поскольку у нас есть отношение этих углов, то обозначим угол А за х , а угол В за 2х.
х+2х=90; 3х=90; х= 30.
Итак, угол А равен 30, а угол В равен 60.
2) Углы САВ и ВАД смежные и их сумма равна 180. Выходит, что угол САВ = 180-ВАД = 180-120 = 60.
Поскольку угол САВ = 60, то угол СВА = 90-60 = 30(исходя из объяснения в первом пункте).
Мы имеем свойство, что против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы. То-есть, АС = АВ/2 = 13/2 = 6.5.
3) Рассмотрим треугольник СДВ. Если угол В равен 45, то угол С так же равен 45. Выходит, что треугольник СДВ - равнобедренный (СВ - его основание).
Поскольку СД = 8, то ДВ = СД = 8.
Рассмотрим треугольник АСВ. В нем угол В равен 45, значит угол А так же равен 45.
Теперь рассматриваем треугольник АДС. В нем угол А равен 45, тогда и угол С так же равен 45. Выходит, что треугольник СДА так же равнобедренный (АС - основание). Получаем, что СД=АД=8.
АВ = АД + ДВ = 8+8 = 16.
4) Треугольник ДВС - равнобедренный. Выходит, что угол ДВС = ДСВ = 25.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180, то ВДС = 180-50=130.
Углы БДС и АДВ - смежные, по-этому АДВ = 180 - 130 = 50.
Треугольник АДВ - равнобедренный , поэтому угол АВД = ДАВ. Если угол АДВ = 50, то АВД + ДАВ = 180-50 = 130. Выходит, что углы АВД и ДАВ по 65 градусов (ДАВ это и есть наш угол А).
Угол АВС = АВД + ДВС = 65+25 = 90.
r = (a+b-c)/2 , где а,b - катеты, с - гипотенуза, тогда
4 = (а+b -26)/2
а+b -26 = 8
а+b = 34
Таким образом Р = а+b +с =34+26 =60 (см).
2) Правило:
отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, т.е.
ВМ =ВР=5, АМ=АТ=12, СТ=СР = х, тогда по теореме Пифагора:
(5 + х)²+(12 + х)²=17²
25 + 10х + х² +144 +24х +х² = 289
2·х² +34х+169 - 289 =0
2·х² +34х -120 =0
х² + 17х -60 =0
х₁ = 3; х₂= -20 ( не подходит по смыслу задачи)
Таким образом АС = 15, ВС = 8 и Р= 15+8+17 = 40 (см).