Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Уточним условие. Катет и его проекция (на гипотенузу) равными быть не могут, так как наклонная не может быть равна проекции. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника может быть равной проекции данного нам катета. Значит есть два варианта:
Первый: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см, а высота, проведенныя из прямого угла, так же равна 7 см..
Второй: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см и является высотой этого треугольника. Проекция второго катета на гипотенузу так же равна 7см.
Тогда решение:
Вариант 1.
Проведем высоту СН к гипотенузе.
Тогда по условию СН = АН = 7 см.
Прямоугольный треугольник АНС равнобедренный, так как катеты равны (СН=АН). => ∠САВ = 45° =>
В треугольнике АВС ∠АВС = 45° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника) => треугольник равнобедренный (углы при основании равны) => катеты треугольника АВС равны и их отношение равно 1.
Вариант2.
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Высота из прямого угла СН² = АН·ВН - свойство этой высоты.
Пусть АС = 7 см. Тогда ВН = 7см, АН = х см, АВ = (7+х)см.
По Пифагору: ВС² = АВ² - АС² или ВС² = (7+х)² - 7². (1)
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Вариант 1. Отношение катетов равно ВС/АС = 1.
Вариант 2. Отношение равно ВС/АС = √(√5+1)/2).
Объяснение:
Уточним условие. Катет и его проекция (на гипотенузу) равными быть не могут, так как наклонная не может быть равна проекции. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника может быть равной проекции данного нам катета. Значит есть два варианта:
Первый: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см, а высота, проведенныя из прямого угла, так же равна 7 см..
Второй: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см и является высотой этого треугольника. Проекция второго катета на гипотенузу так же равна 7см.
Тогда решение:
Вариант 1.
Проведем высоту СН к гипотенузе.
Тогда по условию СН = АН = 7 см.
Прямоугольный треугольник АНС равнобедренный, так как катеты равны (СН=АН). => ∠САВ = 45° =>
В треугольнике АВС ∠АВС = 45° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника) => треугольник равнобедренный (углы при основании равны) => катеты треугольника АВС равны и их отношение равно 1.
Вариант2.
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Высота из прямого угла СН² = АН·ВН - свойство этой высоты.
Пусть АС = 7 см. Тогда ВН = 7см, АН = х см, АВ = (7+х)см.
По Пифагору: ВС² = АВ² - АС² или ВС² = (7+х)² - 7². (1)
В прямоугольном треугольнике ВСН по Пифагору
ВС² = СН²+7². (2). СН² = 7·х (по свойству). =>
ВС² = 7·х+49. (2)
Приравняв (1) и (2), получим: (7+х)² - 7² = 7х+49. =>
49+14х+х² - 49 = 7х+49 => х²+7х-49 = 0.
х = (-7+√(49+4·49))/2 = (-7+7√5)/2 см = 7(√5-1)/2.
Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Итак, катет ВС = √(7х +49) =>
ВС = √(49·(√5-1)/2 +49) = 7√(√5-1)/2 +1) = 7√(√5+1)/2).
ВС/АС = √(√5+1)/2).