Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
Объяснение:
Рисунок прилагается.
Дано: ABC прямоугольный треугольник, ∠ С = 90°, CH- высота, AH = 2 см - проекция катета AC на гипотенузу, BH = 18 см - проекция катета BC на гипотенузу.
Найти катеты AC и BC.
Обозначим для удобства катеты AC = a, BC = b, проекции катетов AH = a₁, BH = b₁, высоту CH = h.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.
h² = a₁*b₁ = 2 * 18 = 36; h = 6
⇒ Высота треугольника, опущенная на гипотенузу CH = h = 6 см.
· отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
рис. 1.
на рисунке из точки а проведены к плоскости α перпендикуляр ав и наклонная ас. точка в - основание перпендикуляра, точка с - основание наклонной, вс - проекция наклонной ас на плоскость α.
2) доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
на рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней ao, наклонная ab, а также показан отрезок bo, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. отрезки ao, bo и ab образуют δaob.
рис. 2.
рассмотрим δaob, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. перпендикуляр ao является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) определение проекции
отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
отрезок bo на рисунке 2 – является проекцией наклонной ab.
4) теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
а) любая наклонная больше своей проекции.
доказательство:
вновь рассмотрим δaob, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. проекция bo является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
б) равные наклонные имеют равные проекции
доказательство: рассмотрим треугольники aob и aod, они равны, т. к. равны их гипотенузы ab и ad, и углы aob и aod (они прямые), а сторона ao у них общая. из равенства треугольников следует и равенство их сторон bo = od, что и требовалось доказать.
в) если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. доказывается аналогично утверждению б.
г) большей наклонной соответствует большая проекция.
доказательство:
рассмотрим прямоугольные треугольники aob и aod, ab > ad.
=
=
но так как ab > ad => ab2 > ad2 => > =>
=> bo > do. что и требовалось доказать.
д) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. доказывается аналогично г.
Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
Объяснение:
Рисунок прилагается.
Дано: ABC прямоугольный треугольник, ∠ С = 90°, CH- высота, AH = 2 см - проекция катета AC на гипотенузу, BH = 18 см - проекция катета BC на гипотенузу.
Найти катеты AC и BC.
Обозначим для удобства катеты AC = a, BC = b, проекции катетов AH = a₁, BH = b₁, высоту CH = h.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.
h² = a₁*b₁ = 2 * 18 = 36; h = 6
⇒ Высота треугольника, опущенная на гипотенузу CH = h = 6 см.
Из прямоугольного ΔACH по теореме Пифагора:
a² = h² + a₁² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40; a = √40 = 2√10
Катет AC = 2√10 см/
Из прямоугольного ΔBCH по теореме Пифагора:
b² = h² + b₁² = 6² + 18² = 36 + 324 = 360; b = √360 = 6√10
Катет BC = 6√10 см.
Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
1) определение перпендикуляра и наклонной.
пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.
тогда:
· отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
рис. 1.
на рисунке из точки а проведены к плоскости α перпендикуляр ав и наклонная ас. точка в - основание перпендикуляра, точка с - основание наклонной, вс - проекция наклонной ас на плоскость α.
2) доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
на рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней ao, наклонная ab, а также показан отрезок bo, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. отрезки ao, bo и ab образуют δaob.
рис. 2.
рассмотрим δaob, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. перпендикуляр ao является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) определение проекции
отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
отрезок bo на рисунке 2 – является проекцией наклонной ab.
4) теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
а) любая наклонная больше своей проекции.
доказательство:
вновь рассмотрим δaob, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. проекция bo является катетом этого треугольника, а наклонная ab – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
б) равные наклонные имеют равные проекции
доказательство: рассмотрим треугольники aob и aod, они равны, т. к. равны их гипотенузы ab и ad, и углы aob и aod (они прямые), а сторона ao у них общая. из равенства треугольников следует и равенство их сторон bo = od, что и требовалось доказать.
в) если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. доказывается аналогично утверждению б.
г) большей наклонной соответствует большая проекция.
доказательство:
рассмотрим прямоугольные треугольники aob и aod, ab > ad.
=
=
но так как ab > ad => ab2 > ad2 => > =>
=> bo > do. что и требовалось доказать.
д) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. доказывается аналогично г.