Дано А (3;7) В (-2;5) С (4;-2) D (x;y). Знайдіть х і у, якщо АВ=CD
З поясненнями.

   Если провести из прямого угла к гипотенузе высоту, то гипотенуза основанием высоты разделится на два отрезка. Каждый такой отрезок называется проекцией соседнего катета. (См. рисунок). 
  Гипотенуза АВ=25, катет СВ=20.
  Так как высота прямоугольного треугольника делит его на подобные, проекцию катета можно вычислить по т.Пифагора из подобия треугольников.
   Для этого сначала находят второй катет.
   Но из того же подобия выведено, что:
   Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ⇒ 
ВС²=АВ•ВН
400=25•ВН, откуда проекция катета ВС на гипотенузу 
ВН+400:25=16.

Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания умноженной на высоту параллелепипеда.
Высота параллелепипеда равна большей диагонали, так как в прямоугольном треугольнике АСС1 <CFC1=45° (дано). В основании параллелепипеда угол между сторонами параллелограмма АВСD <BAD=60° (дано), тогда площадь основания (параллелограмма) равна АВ*АD*Sin60° = 4*6*√3/2 = 12√3cм²
Из треугольника АDС по теореме косинусов находим АС:
АС² = АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*Cos120° ( так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°). Cos120° = -Cos60° =-0,5.
Тогда АС² = 16+36+2*4*6*0,5 = 76см. АС = √76см. СС1 = АС = √76см.
Объем параллелепипеда равен  = So*CC1 = 12√3*√76 =24√ 57cм³.