Дана правильная 4-угольная пирамида SABCD, сторона a основания у которой равна 4 см, расстояние OK от центра основания до бокового ребра равно 2 см.
Рассмотрим осевое сечение ASC через противоположные боковые рёбра. Косинус угла АОК = 2/(2√2) = 1/√2. Угол АОК = КАО = 45 градусов. Из подобия треугольников АОК и ASO находим: - боковое ребро AS = 2√2*√2 = 4 см. - высота пирамиды Н = d/2 = 2√2 см. Так как сторона основания и боковые рёбра равны по 4 см, то все углы боковой грани, в том числе и при вершине, равны по 60 градусов.
Угол между боковыми гранями - это угол ДКВ, где ДК и КВ - высоты из вершин В и Д на ребро SA. ДК = КВ = 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3 см. Тогда угол ДКВ равен: ∠DKB = 2arc cos (OK/KD) = 2arc cos(2/2√3) = 109,4712 градуса.
Правильная четырёхугольная пирамида MABCD AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒ ΔOKC - прямоугольный равнобедренный ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒ ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒ OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒ ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒ Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60° В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒ DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒ Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см Теорема косинусов BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD (4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD 32 = 24 - 24*cos∠BKD 24cos∠BKD = -8 cos∠BKD = -1/3 ∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= ∠MFO = arcsin () ≈ 54,7° MF⊥AD и OF⊥AD ⇒ ∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°; угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°; угол между боковой гранью и гранью основания равен arcsin () ≈ 54,7°
Рассмотрим осевое сечение ASC через противоположные боковые рёбра.
Косинус угла АОК = 2/(2√2) = 1/√2. Угол АОК = КАО = 45 градусов.
Из подобия треугольников АОК и ASO находим:
- боковое ребро AS = 2√2*√2 = 4 см.
- высота пирамиды Н = d/2 = 2√2 см.
Так как сторона основания и боковые рёбра равны по 4 см, то все углы боковой грани, в том числе и при вершине, равны по 60 градусов.
Угол между боковыми гранями - это угол ДКВ, где ДК и КВ - высоты из вершин В и Д на ребро SA.
ДК = КВ = 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3 см.
Тогда угол ДКВ равен:
∠DKB = 2arc cos (OK/KD) = 2arc cos(2/2√3) = 109,4712 градуса.
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒
DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)=
∠MFO = arcsin (
MF⊥AD и OF⊥AD ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin (