Дано: ABCD - ,параллелограмм.
A(3;-7) B(2;4) C(-5;1)
Зайти координаты вершины D.

Задача решается двумя Графически и алгебраически.
приложение №1):
Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см.
Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см.
 Радиус 5/2=2,5 см.

приложение №2):
Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника.
Радиус описанной окружности -
R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол.
Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей.
Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β).
R=СД/2sinβ=2/sinβ;
R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ.
Делим одно выражение на другое.
3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3
R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.

Это задачи на подобие треугольников.

№1

АВ║ДЕ; ВД и АЕ - секущие

∠В=∠Д  и  ∠А=∠Е как накрест лежащие  ⇒

Δ АВС и Δ ВСЕ  подобны по 2-м углам.

АС/СЕ=ВС/СД

12/СЕ=10/5

СЕ=12*5/10=12/2=6 единиц - это ответ.

№2 (если ΔАВС прямоугольный)

ΔАСВ; ∠В=α; ∠А=90-α

Пусть высота СД

ΔАСД; ∠А=90-α;  ∠АСД=90-(90-α)=α

⇒ ΔАСД и ΔСДВ подобны по острому углу α.

АД/АС=СД/СВ

АД/8=4/12

АД/8=1/3

АД=8/3=2 2/3  -  это ответ. Проверка показывает, что или АСВ - не прямоугольный треугольник или числа не те.

По т.Пифагора АД=√(64-16)=√48=√16*3=4√3 - это ответ.