Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово, чтобы ответ был понятен.
1. Нам дана трапеция ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, BC - основание трапеции, а AD - боковая сторона. Также известны значения сторон и высоты трапеции:
AB = CD,
BC = 9 см,
AD = 21 см,
BH = 8 см.
2. В данной задаче нам нужно найти радиус вписанной окружности r в трапецию.
3. Выразим высоту трапеции через радиус вписанной окружности и стороны трапеции. Зная, что радиус окружности r является высотой для любого треугольника, вписанного в окружность, можем построить треугольник ABH и использовать его для нахождения высоты.
4. Заметим, что треугольник ABH - прямоугольный треугольник прямого угла H. Мы знаем значения его катетов AB = CD и BH = 8 см.
5. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABH. Теорема Пифагора гласит: в квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Имеем:
AB^2 = AH^2 + BH^2.
6. Обозначим AH за x, где x - искомое значение высоты, и решим уравнение:
AB^2 = x^2 + BH^2.
AB = CD, поэтому:
CD^2 = x^2 + BH^2.
9. Найдем квадратный корень из обеих сторон:
x = √17.
10. В итоге, получили значение высоты трепеции:
AH = √17 см.
11. Теперь, когда мы знаем высоту трепеции, можем вычислить радиус вписанной окружности r. Радиус окружности r является высотой для любого треугольника, вписанного в окружность.
12. Сравним треугольник ABH и треугольник ACD. Они подобны, так как угол BAH является общим, и угол B и угол C являются соответственными углами.
13. Так как треугольники подобны, то и соответствующие им стороны имеют пропорциональные отношения:
AB/AC = BH/CD.
14. Подставим значения в пропорцию:
AB/AC = 8/CD,
CD*AB = AC*BH,
9*AB = AC*8.
15. Поделим обе части уравнения на 9:
AB = (8*AC)/9.
16. Теперь подставим значение AB из условия задачи (AB = CD):
CD = (8*AC)/9.
17. Подставим в данное уравнение значения сторон и найдем значение AC:
CD = (8*AC)/9,
9*CD = 8*AC,
9*9 = 8*AC,
81 = 8*AC.
18. Решим уравнение:
AC = 81/8,
AC = 10.125.
19. Найдем радиус окружности r:
r = AH = √17 см.
Ответ: радиус вписанной окружности в трапецию равен √17 см.
1. Нам дана трапеция ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, BC - основание трапеции, а AD - боковая сторона. Также известны значения сторон и высоты трапеции:
AB = CD,
BC = 9 см,
AD = 21 см,
BH = 8 см.
2. В данной задаче нам нужно найти радиус вписанной окружности r в трапецию.
3. Выразим высоту трапеции через радиус вписанной окружности и стороны трапеции. Зная, что радиус окружности r является высотой для любого треугольника, вписанного в окружность, можем построить треугольник ABH и использовать его для нахождения высоты.
4. Заметим, что треугольник ABH - прямоугольный треугольник прямого угла H. Мы знаем значения его катетов AB = CD и BH = 8 см.
5. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABH. Теорема Пифагора гласит: в квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Имеем:
AB^2 = AH^2 + BH^2.
6. Обозначим AH за x, где x - искомое значение высоты, и решим уравнение:
AB^2 = x^2 + BH^2.
AB = CD, поэтому:
CD^2 = x^2 + BH^2.
7. Подставляем значения, даннные в условии задачи:
9^2 = x^2 + 8^2,
81 = x^2 + 64.
8. Решим это уравнение:
x^2 = 81 - 64,
x^2 = 17.
9. Найдем квадратный корень из обеих сторон:
x = √17.
10. В итоге, получили значение высоты трепеции:
AH = √17 см.
11. Теперь, когда мы знаем высоту трепеции, можем вычислить радиус вписанной окружности r. Радиус окружности r является высотой для любого треугольника, вписанного в окружность.
12. Сравним треугольник ABH и треугольник ACD. Они подобны, так как угол BAH является общим, и угол B и угол C являются соответственными углами.
13. Так как треугольники подобны, то и соответствующие им стороны имеют пропорциональные отношения:
AB/AC = BH/CD.
14. Подставим значения в пропорцию:
AB/AC = 8/CD,
CD*AB = AC*BH,
9*AB = AC*8.
15. Поделим обе части уравнения на 9:
AB = (8*AC)/9.
16. Теперь подставим значение AB из условия задачи (AB = CD):
CD = (8*AC)/9.
17. Подставим в данное уравнение значения сторон и найдем значение AC:
CD = (8*AC)/9,
9*CD = 8*AC,
9*9 = 8*AC,
81 = 8*AC.
18. Решим уравнение:
AC = 81/8,
AC = 10.125.
19. Найдем радиус окружности r:
r = AH = √17 см.
Ответ: радиус вписанной окружности в трапецию равен √17 см.