Координаты точек А и В найдём из решения системы, первое уравнение которой - уравнение окружности с радиусом 4, а второе - уравнение касательной к окружности радиусом 1.
Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс. Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0). Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол в 60°, то к оси Ох угол будет -30°. Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3. Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в: Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3. Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3. Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16. Используем подстановку: (x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16. x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0. 4x² + 30x + 9 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А). Определяем координаты точек по оси Оу: у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513. у₂ = (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326. По координатам находим длину хорды АВ: Точка А Точка В Ха Уа Хв Ув -7,186932 2,417326 -0,313068 -1,551301 АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.
АО = ОВ – как радиусы окружности → ∆ АОВ – равнобедренный Высота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисой АН = НВ = 1/2 × АВ = 1/2 × 30 = 15
ОС = ОD – как радиусы окружности → ∆ СОD – равнобедренный Высота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисой
Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс.
Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0).
Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол в 60°, то к оси Ох угол будет -30°.
Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3.
Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в:
Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3.
Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3.
Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16.
Используем подстановку:
(x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16.
x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0.
4x² + 30x + 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А).
Определяем координаты точек по оси Оу:
у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513.
у₂ = (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326.
По координатам находим длину хорды АВ:
Точка А Точка В
Ха Уа Хв Ув
-7,186932 2,417326 -0,313068 -1,551301
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.
АО = ОВ – как радиусы окружности →
∆ АОВ – равнобедренный
Высота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисой
АН = НВ = 1/2 × АВ = 1/2 × 30 = 15
Рассмотрим ∆ АОН (угол АНО = 90°):
По теореме Пифагора:
АО² = ОН² + АН²
АО² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625
АО = 25
Значит, АО = ОВ = ОС = ОD = 25 – как радиусы окружности
Рассмотрим ∆ ОDE (угол ОЕD = 90°):
По теореме Пифагора:
OD² = OE² + ED²
ED² = 25²– 15² = 625 – 225 = 400
ED = 20
ОС = ОD – как радиусы окружности →
∆ СОD – равнобедренный
Высота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисой
Значит, CD = 2 × ED = 2 × 20 = 40
ОТВЕТ: CD = 40