Дано, что DB — биссектриса угла ABC. BA⊥ADиCE⊥CB.
Найди CB, если AD= 3 см, BA= 4 см, CE= 2,7 см.

https://ykl-res.azureedge.net/072cb6a5-8cee-4a98-8e28-1cad58a84828/lidzTr_bis.PNG

Сначала докажем подобие треугольников. (В каждое окошечко впиши одну латинскую букву или число.)

∢ =∢C= --°
∢C__E=∢D__A, т.к.BE− биссектриса}⇒ΔADB∼ΔCEB, по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

CB = ___ см.

Объяснение: В ΔМNK из точки М проведите дугу окружности так, чтобы пересечь прямую NK в двух точках Р  и Q. Затем поочереди из двух точек Р и Q  проведите дуги одинакового радиуса на полу- плоскости относительно прямой NK, где нет точки М. Назовём точку пересечения этих дуг точкой А. Соединим М и А, получим МН ⊥ NK.

Описание: 1) окр (М; r) ∩ MK, получим Р и Q.

                2) окр (Р; R) ∩ окр (К; R) = А.

                3) МА ∩ NK = Н,  МН- искомая высота Δ МNК.

В  ΔСДР проведём поочерёдно две дуги одинаковым радиусом больше половины отрезка ДР навстречу друг другу из точек Д и Р. Эти дуги пересекутся в двух точках М и N. Соединим отрезком точки М и N.

Точку пересечения МN и ДР обозначим точкой К. Проведём отрезок СК, который и будет медианой  ΔСДР.

Описание: 1)окр (Д; R) ∩ окр(Р; R), получим М и N.

                2) MN ∩ ДР = К,  СК- искомая медиана    ΔСДР.

P.S. Если непонятно обозначение окружности в описании, то:

окр ( Р; R) - обозначение окружности с центром в Р и радиусом R.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180°.

∠BAD+∠BCD = 180°;

∠BCA = 180°-∠BAD = 180°-120° = 60°

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу равны.

∠CAD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CBD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CAD = ∠CBD

По теореме синусов в треугольнике CBD:

По основному тригонометрическому тождеству (sin²α+cos²α=1):

Пусть BC=x, тогда 0<x<4.

Рассмотрим случай, когда cos(CBD) = 1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

x²-2x-15 = 0

D = (-2)²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₁ = (2+8)/2 = 10/2 = 5

x₂ = (2-8)/2 = -6/2 = -3

Ни один корень не подходит под условие 0<x<4.

Теперь случай, когда cos(CBD) = -1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

x²+2x-15 = 0

D = 2²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₃ = (-2+8)/2 = 6/2 = 3

x₄ = (-2-8)/2 = -10/2 = -5

0 < x₃ < 4

x = 3 удовлетворяет условию, значит cos(CBD) = -1/7.

cos(CBD) < 0,  а sin(CBD) > 0. Поэтому ∠CBD - угол второй четверти, тогда ∠CBD = arccos(-1/7)

∠CAD = arccos(-1/7)

ответ: arccos(-1/7).