Углы при основании 72°. То есть биссектриса "отрезает" от треугольника равнобедренный треугольник, углы при основании которого равны 36°. Далее, внешний угол при вершине ЭТОГО (отрезанного) треугольника равен 2*36° = 72°, то есть второй треугольник тоже равнобедренный. То есть биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Если обозначить длину биссектрисы L, основание a, боковую сторону b, и отрезок от вершины (противоположной основанию) до конца биссектрисы x, то получается x = L = a; (одна из сторон уже найдена, основание a = L = √20) По свойству биссектрисы b/a = x/(b - x); то есть b/a = a/(b - a); или (b/a - 1)*(b/a) = 1; (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a = (√5 + 1)/2; если подставить a = 2√5; получится b = 5 + √5;
Далее, внешний угол при вершине ЭТОГО (отрезанного) треугольника равен 2*36° = 72°, то есть второй треугольник тоже равнобедренный. То есть биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных треугольника.
Если обозначить длину биссектрисы L, основание a, боковую сторону b, и отрезок от вершины (противоположной основанию) до конца биссектрисы x, то получается
x = L = a; (одна из сторон уже найдена, основание a = L = √20)
По свойству биссектрисы
b/a = x/(b - x); то есть b/a = a/(b - a); или (b/a - 1)*(b/a) = 1;
(b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0;
b/a = (√5 + 1)/2;
если подставить a = 2√5; получится
b = 5 + √5;
См. рис.
Так как AD - диаметр окружности, то угол ∠ABD = 90°
Следовательно, оставшийся угол прямоугольного
треугольника ΔABD: ∠BAD = 90 - 65 = 25°
Так как угол ∠BAD - вписанный, то величина дуги, на которую он опирается:
∪BCD = 2 · ∠BAD = 50°
Искомый угол ∠С = ∠BCD опирается на оставшуюся дугу
окружности:
∪BAD = 360 - ∪BCD = 360 - 50 = 310°
И величина угла ∠С = 310 : 2 = 155°
Причем, величина угла ∠С не зависит от местоположения точки С на дуге ∪BCD, так как в любом случае этот угол опирается на дугу ∪BAD, равную 310°