А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
і ми зустрічалися з різними рівняннями і будували їх графіки.
рівнянням фігури на площині в декартових координатах називається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури, і навпаки: будь-які два числа, які задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки цієї фігури.
яке ж рівняння має коло?
для того щоб скласти рівняння кола, згадаємо його властивість, що міститься в означенні кола: усі точки кола розміщені в одній площині з його центром і однаково від нього віддалені.
нехай центр кола м(а; b), а радіус кола r (рис. 140).
позначимо на колі будь-яку точку а (х; у). відстань від точки м до точки а дорівнює r, тобто am = r, але за формулою відстані між двома точками маємо ам2 = (х – а)2 + (y – b)2, або (x – a)2 + (y – b)2 = r2. (1)
координати будь-якої точки цього кола задовольняють рівняння (1). правильно і те, що будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить колу.
отже, (x – a)2 + (y – b)2 = r2 — рівняння кола. якщо центр кола (рис. 141) лежить у початку координат, то воно має рівняння х2 + у2 = r2.
розглянемо рівняння (1), у якому х і у — змінні координати точок кола, а числа а і b — відповідно абсциса і ордината центра, r — радіус кола. отже, щоб записати рівняння кола, треба запам'ятати цю формулу і знати координати центра і радіус.
наприклад, нехай m(-1; 2), a r = 2, тоді рівняння кола (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4.
виконання вправ
1) які з точок: а(1; 2), в(3; 4), с(-4; 3), d(0; 5), f(5; -1) —лежать на колі, рівняння якого х2 + у2 = 25? 2) запишіть рівняння кола радіуса 1, а координати центра:
а) (1; 1);
б) (-1; 1);
в) (1; -1);
г) (-1; -1)
3) укажіть координати центра і радіус кола, яке задане рівнянням:
a) (x – 1)2 + y2 = 9;
б) (x + 1)2 + (у + 3)2 = 1;
в) x2 + (y + 1)2 = 2;
г) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 7.
4) знайдіть на колі х2 + у2 = 100 точки:
а) з абсцисою 6;
б) з ординатою 8.
iv. закріплення й усвідомлення нового матеріалурозв'язування
1. дано точки а(2; 1), в(-2; 5). складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав.2. дано точки а(-1; -1) і с(-4; 3). складіть рівняння кола:
а) з центром у точці а і яке проходить через точку с;
б) з центром у точці с і яке проходить через точку а.
3. знайдіть на осі ох центр кола, яке проходить через точку а(1; 4) і має радіус 5.4. складіть рівняння кола з центром (1; 2), яке дотикається до осі ох.5. складіть рівняння кола з центром (-3; -4), яке проходить через початок координат.6. доведіть, що відрізок ав, кінці якого а(2; -5) і в(5; -2) є хордою кола (х - 5)2 +(у + 5)2 = 9.7. чи перетинає коло (х + 4)2 + (у – 1)2 = 20 вісь оу? якщо перетинає, то в яких точках?
v. є завдання
вивчити рівняння кола та розв'язати і.
1. коло задане рівнянням (х – 1)2 + (у + 3)2 =10. чи проходить це коло через початок координат? 2. чи перетинає коло (х – 3)2 + (у + 5)2 = 26 вісь ох? якщо перетинає, то знайдіть точки перетину з віссю ох.3. знайдіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав, якщо а(8; 5), в(2; -3).
vi. підбиття підсумків уроку
завдання класу
1. запишіть рівняння кола.2. знайдіть координати центра і довжини радіусів кіл, зображених на рис. 142. запишіть рівняння цих кіл.
А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
і ми зустрічалися з різними рівняннями і будували їх графіки.
рівнянням фігури на площині в декартових координатах називається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури, і навпаки: будь-які два числа, які задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки цієї фігури.
яке ж рівняння має коло?
для того щоб скласти рівняння кола, згадаємо його властивість, що міститься в означенні кола: усі точки кола розміщені в одній площині з його центром і однаково від нього віддалені.
нехай центр кола м(а; b), а радіус кола r (рис. 140).
позначимо на колі будь-яку точку а (х; у). відстань від точки м до точки а дорівнює r, тобто am = r, але за формулою відстані між двома точками маємо ам2 = (х – а)2 + (y – b)2, або (x – a)2 + (y – b)2 = r2. (1)
координати будь-якої точки цього кола задовольняють рівняння (1). правильно і те, що будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить колу.
отже, (x – a)2 + (y – b)2 = r2 — рівняння кола. якщо центр кола (рис. 141) лежить у початку координат, то воно має рівняння х2 + у2 = r2.
розглянемо рівняння (1), у якому х і у — змінні координати точок кола, а числа а і b — відповідно абсциса і ордината центра, r — радіус кола. отже, щоб записати рівняння кола, треба запам'ятати цю формулу і знати координати центра і радіус.
наприклад, нехай m(-1; 2), a r = 2, тоді рівняння кола (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4.
виконання вправ
1) які з точок: а(1; 2), в(3; 4), с(-4; 3), d(0; 5), f(5; -1) —лежать на колі, рівняння якого х2 + у2 = 25? 2) запишіть рівняння кола радіуса 1, а координати центра:а) (1; 1);
б) (-1; 1);
в) (1; -1);
г) (-1; -1)
3) укажіть координати центра і радіус кола, яке задане рівнянням:a) (x – 1)2 + y2 = 9;
б) (x + 1)2 + (у + 3)2 = 1;
в) x2 + (y + 1)2 = 2;
г) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 7.
4) знайдіть на колі х2 + у2 = 100 точки:а) з абсцисою 6;
б) з ординатою 8.
iv. закріплення й усвідомлення нового матеріалурозв'язування
1. дано точки а(2; 1), в(-2; 5). складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав.2. дано точки а(-1; -1) і с(-4; 3). складіть рівняння кола:а) з центром у точці а і яке проходить через точку с;
б) з центром у точці с і яке проходить через точку а.
3. знайдіть на осі ох центр кола, яке проходить через точку а(1; 4) і має радіус 5.4. складіть рівняння кола з центром (1; 2), яке дотикається до осі ох.5. складіть рівняння кола з центром (-3; -4), яке проходить через початок координат.6. доведіть, що відрізок ав, кінці якого а(2; -5) і в(5; -2) є хордою кола (х - 5)2 +(у + 5)2 = 9.7. чи перетинає коло (х + 4)2 + (у – 1)2 = 20 вісь оу? якщо перетинає, то в яких точках?v. є завдання
вивчити рівняння кола та розв'язати і.
1. коло задане рівнянням (х – 1)2 + (у + 3)2 =10. чи проходить це коло через початок координат? 2. чи перетинає коло (х – 3)2 + (у + 5)2 = 26 вісь ох? якщо перетинає, то знайдіть точки перетину з віссю ох.3. знайдіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав, якщо а(8; 5), в(2; -3).vi. підбиття підсумків уроку
завдання класу
1. запишіть рівняння кола.2. знайдіть координати центра і довжини радіусів кіл, зображених на рис. 142. запишіть рівняння цих кіл.