Дано: MK перпендикулярно BC, MN перпендикулярно AB, AM=MC, AN=CK Доказать BN=BK​

Немного переиначу - пусть D лежит на AB, DE II AC, CD и AE пересекаются в точке N. Я буду доказывать, что BN - медиана ABC. Нужно обозначить еще две точки - M - точка пересечения продолжения BN и AC, K - точка пересечения BN и DE.
Треугольники DKN и MNC подобны, то есть MN/NK = CM/DK; точно также из подобия треугольников EKN и ANM получается MN/NK = AM/KE; если обозначить
MN/NK = x; то CM = DK*x; AM = KE*x; 
то есть CM/AM = DK/KE; (1)
Далее, поскольку DE II AB, то треугольники DKB и AMB подобны, и DK/AM = BK/BM; точно так же из подобия треугольников BKE и BMC следует KE/CM = BK/BM; если обозначить BK/BM = y; то DK = AM*y; KE = CM*y; 
то есть CM/AM = KE/DK; (2)
Если перемножить равенства (1) и (2), получится (CM/AM)^2 = 1; то есть CM = AM; Вот так решается

1.
---
PA ⊥ (ABC) ;
D ∈ [BC] ;
PD  ⊥ BC .

Док-ать   AD  ⊥ BC  ( AD - высота треугольника ABC) ?
 
Непосредственно  следует из теоремы трех перпендикуляров :
AD  проекция наклонной  PD  на плоскости  треугольника ABC   и 
BC ⊥ PD  ⇒  BC  ⊥   AD .
2.
---
AC ∈ α  ( сторона (здесь основание)  AC  треугольника ABC лежит в плоскости α  ;
|AB| =  |BC| = 26 см   ( а не AB| =  |BC| = 26 см )   ;
|AC| = 48 см  ;
BO  ⊥ α ,  O ∈ α  ;
OP   ⊥  AC  .

BP - ? 

OP проекция  наклонной на плоскости  α  .
OP   ⊥  AC ⇒  BP  ⊥ AC (по обратной теореме трех перпендикуляров)
*  BP высота  равнобедренного треугольника ABC провед. к основ . AC*
Но треугольник ABC  равнобедренный, поэтому  BP еще и медиана
т.е.   AP =CP =AC/2 =48/2 =24 (см) .
Из   Δ ABP по теореме Пифагора :
BP =√ (AB² - AP² ) = √ (26² - 24² ) =√ (26 - 24 )(26 + 24) =√ (2*50 )=10 (см) .

 ответ : 10 см .