Дано:
MN=KL=10,1см;∢ONM=60°.
найти: диаметр

Стороны правильного многоугольника равны. 

Диаметр окружности, вписанной в квадрат со стороной m, равен длине его стороны. 

 d=m, r=d:2=m/2

Периметр квадрата=16 дм, => m=16:4=4 (дм) => r=4:2=2 (дм) 

Длину стороны а правильного n-угольника, вписанного в окружность,  находят по формуле  

R=r=2 дм

n=5

180°:5=36°

sin36°= ≈0,5878

P=5a=10•2•0,5878= ≈11,7557 дм

Вариант решения: 

Рассмотрим рисунок приложения. 

АВ- сторона пятиугольника., О - центр описанной окружности.

ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ∆ АОВ 

Центральный угол  АОВ вписанного пятиугольника 360°:5=72°

Угол АOН= 72°:2=36° 

АН=ОА•sinАОН=2•sin36°, AB=2AH=4•sin36°

AB=4•0,5878 =≈2,35 (дм)

Периметр правильного пятиугольника со стороной а равен 5а

Р=5•АВ=≈11,7557 (дм)

Решим эту задачу без применения частной формулы для правильного треугольника:Проведем в правильном треугольника АВС к каждой из сторон высоты: AF, BH, CE. Точка пересечения О.

Они будут и высотами и медианами и биссектрисами.

Рассмотри треугольник AFC: он прямоугольный. Угол FAC равен 30 (AF - биссектриса)⇒FC=½АС = ½5√3.

Находим катет AF: √((5√3)²-(½5√3)²) = √(75-75/4) = √(225/4) = 15/2

Исходя из равенства всех треугольников, полученных в результате построения высот треугольниа АВС, точкой пересечения высоты делятся в соотношении 2:1, т. е. АО=⅔AF⇒AO=⅔*(15/2)=5 см. Это и есть радиус.

Площадь S=πr²⇒S=25π

Длина окружности L=2πr⇒L=10π

Частная формула гласит R=(√3/3)*a⇒R=(√3/3)*5√3=15/3=5 (т. е. верно)