Площадь квадрата равна 100. Если представить 100 в виде суммы натуральных чисел, то число слагаемых будет наибольшим, если разность между числами равна одному. Возьмем прямоугольники площади 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их суммарная площадь равна 55. Значит, сумма площадей остальных прямоугольников равна 45. Заметим, что если площадь прямоугольника больше 10, то она не может быть простым числом, иначе такой прямоугольник имеет сторону больше 10 и не помещается в квадрат 10×10 . Составными числами больше десяти являются числа 12, 14, 15, 16, 18, 19,… Любые четыре из них в сумме дают число больше 45. Сумму, равную 45, дают, например, такие тричисла: 12,15,18 или 14,15,16. Получаем, что число прямоугольников меньше или равно 13. Пример возможного расположения для 13 прямоугольников приведен на рисунке.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом 1, тоже равна 1.
Объяснение:
Так как шестиугольник можно разбить на 6 треугольников, у которых сторонами будут стороны самого шестиугольника и прямые, проведенные от центра шестиугольника к каждому из его углов. Эти маленькие треугольники будут равносторонними. Так как углы при вершине центра шестиугольника будут равны 360°:6=60°. А сам треугольник, считая основанием сторону шестиугольника, будет равнобедренным, так как сторонами будут радиусы описанной окружности. Так как в треугольнике сумма углов 180°, то на эти углы приходится 180°-60°=120°. Так как углы при основании равны, то 120°:2=60° - на каждый из оставшихся углов. Значит каждый из углов равен 60°. Это возможно в равностороннем треугольнике. Значит радиус равен стороне шестиугольника.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом 1, тоже равна 1.
Объяснение:
Так как шестиугольник можно разбить на 6 треугольников, у которых сторонами будут стороны самого шестиугольника и прямые, проведенные от центра шестиугольника к каждому из его углов. Эти маленькие треугольники будут равносторонними. Так как углы при вершине центра шестиугольника будут равны 360°:6=60°. А сам треугольник, считая основанием сторону шестиугольника, будет равнобедренным, так как сторонами будут радиусы описанной окружности. Так как в треугольнике сумма углов 180°, то на эти углы приходится 180°-60°=120°. Так как углы при основании равны, то 120°:2=60° - на каждый из оставшихся углов. Значит каждый из углов равен 60°. Это возможно в равностороннем треугольнике. Значит радиус равен стороне шестиугольника.