Дано паралельні площини α і β. Точки А і В лежать у площині α, а точки С і D – у площині β. Відрізки АС і ВD перетинаються у точці О. Знайти АО, якщо АВ=6см, DC=4см, ОС=12см.

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.

а) Находим длину L бокового ребра.

Перед этим определяем высоту основания:

h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.

L =  √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).

Теперь находим апофему А боковой грани.

A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).

Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.

При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.

Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,

Доказано: AK:KB=3:1.

б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.

CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.

MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).

СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.

CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =

     = √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.

Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.

ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.

Угол,смежный углу, равному 132 градусу будет равен:180-132=48
Проведенные высоты образуют 4 прямоугольных треугольника (два маленьких и два больших),то угол = 48 градусов - один из углов маленького прямоугольного треугольника,следовательно второй угол будет равен 90-48=42 градуса;угол,равный 42  градуса также является одним из углов большого прямоугольного треугольника,второй непрямой угол которого лежит в вершине равнобедренного треугольника.Следовательно,угол при вершине равен 90-42=48 градусов
Т.к. данный треугольник равнобедренный,то углы при основании равны и их сумма сост.180-48=132 градуса
Значит,один угол при основании равен 132/2=66