Дано точки А ( 8; 0; 4 ) B ( 13; 4; 7 ) C ( 11; -3; 3) 1) доведіть що трикутник ABC прямокутний 2) знайдіть площу круга описаного навколо трикутника АВС
Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).
8.2.
Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 : 2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.
8.3.
Пусть O — центр данной окружности, AB — хорда, проходящая через точку P, M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.
8.4.
Пусть R — радиус данной окружности, O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
8.5.
Пусть R — радиус окружности S, O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса
Ц
R2 – d2/4
с центром O.
8.6.
Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,
Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).
8.2.
Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 : 2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.
8.3.
Пусть O — центр данной окружности, AB — хорда, проходящая через точку P, M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.
8.4.
Пусть R — радиус данной окружности, O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
8.5.
Пусть R — радиус окружности S, O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса
Ц
R2 – d2/4
с центром O.
8.6.
Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,
SR
EC
= PQ
EC
= BQ
BC
= FR
FC
, т. е. точка S
Проведѐм анализ этой задачи.
Предположим, что задача решена — нарисуем
окружность с центром O и правильный треугольник
ABC, вписанный в неѐ.
Если провести радиусы в вершины этого треугольника,
то можно увидеть на рисунке три равных между собой
треугольника: OAB, OBC, OCA.
Треугольники эти равны по трѐм сторонам (две
стороны в каждом таком треугольнике – это радиусы
данной окружности, а третья сторона каждого из
них — это сторона правильного треугольника ABC).
Но тогда равны углы при вершине O в каждом из них.
А так как полный угол равен 3600
, то величина каждого из углов при вершине O в этих
треугольниках равна 1200
. Это наблюдение приводит к мысли о том, как решить
предложенную задачу.
1
1. Провести окружность.
2. Провести из центра окружности отрезок к точке
на окружности, то есть радиус окружности.
3. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов по часовой стрелке.
4. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов против часовой стрелки.
5. Соединить отрезками полученные на
окружности точки – концы трѐх радиусов.
Треугольник, сторонами которого являются построенные три отрезка, будет
правильным.
Доказательство
Пусть O — центр окружности, OA — первоначально построенный радиус, B и
C — полученные при таком построении точки. Отрезки OA, OB, OC равны как
радиусы одной окружности. Треугольники OAB, OBC, OCA равны по первому
признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что отрезки AB, BC, CA равны
между собой, а потому треугольник ABC — правильный.
2
1. Провести окружность. Обозначить ее центр O.
2. Провести прямую через точку O, найти точки
пересечения прямой и окружности, обозначить
их A и B.
3. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30°, найти точку пересечения полученной
прямой и окружности, обозначить ее C.
4. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30° в другую сторону от диаметра AB, найти
точку пересечения полученной прямой и
окружности, обозначить ее D.
5. Построить отрезок CD.
6. Соединить отрезками полученные на окружности точки.
Доказательство
Проведѐм радиус OC. OC = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBC -
равнобедренный, поэтому угол OCB равен 30°.
Проведѐм радиус OD. OD = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBD -
равнобедренный, поэтому угол ODB равен 30°.
Получаем, что треугольники OBC и OBD равны (по стороне и двум углам), откуда
следует, что BС = BD . В равнобедренном треугольнике CBD угол CBD равен 60°.
Согласно одному из признаков равностороннего треугольника, треугольник CBD
является равносторонним.
Рассказ учителя
2 также может предшествовать анализ. Он
может быть проведѐн следующим образом. При
анализе, предшествующем первому построению, был
использован радиус исходной окружности. Можно
исходить из диаметра окружности.
Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в
окружность с центром O. Проведѐм диаметр BD этой
окружности.