Дано:
Треугольник ABC;
KL II AC; AC = 20 см
Знайти: KL - ?

Как проверить существует ли треугольник с данными сторонами? Это легко, по теореме каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. И так, проверяем
52 должно быть меньше, чем 38+72 и это так,
38 должно быть меньше, чем 72+52 и это так,
72 должно быть меньше, чем 38+52 и это так. Вывод:такой треугольник существует.
2)
10 должно быть меньше, чем 115+1203 и это так,
115 должно быть меньше, чем 1203+10 и это так,
1203 должно быть меньше чем 115+10, но это не так. Вывод: такого треугольника не существует.
3)
1003 должно быть меньше, чем 705+276 и это не так. Можно сразу сделать вывод, что данного треугольника не существует.

Проведем высоту из вершины B (новая вершина  Е). Получим прямоугольный треугольник. Отрезок AE = BC, так как ad : bc = 3:1.
Вычислим AE по формуле AE = AB * cos ∠BAD = 8*√3/2 = 4*√3

Из этого следует BC = 4*√3, AD=12*√3
Зная все стороны находим площадь.
S = (BC+AD)/2 * √AB² - (AD-BC)²/4 = 8*√3 * √64-192/4 = 32*√3
ответ: 32*√3

Второй вариант.
Найдем высоту h трапеции, зная длину отрезка AE.
h² + (4*√3)² = 8²
h = 4
Вычисляем площадь по формуле через высоту
S = (4*√3+12√3)/2*h = 32*√3
ответ: 32*√3
ответ одинаковый в двух вариантах.