Пусть C и C′ - длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.
Pn и Pn′ - их периметры, an и an′ - стороны.
Pn = n • an = n • 2R • Sin
Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin
Тогда
Зная, что периметры Pn и Pn′ - приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем
Но в силу равенства получаем
По свойству пропорции
Значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.
***
Задача 124.
Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12
Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1
Если C = 18π, то радиус окружности R == = 9
Задача 125.
Дано:
a - сторона правильного треугольника
Найдите: длину описанной окружности
Т.к. сторона правильного многоугольника
an = 2R • Sin (), тогда сторона правильного треугольника
a = R R =
Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR =
Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.
Градусная мера окружности 360°,
Длина окружности C = 2πR
Длина дуги в 1° равна
Тогда длина дуги окружности в α градусах:
Задача 126.
радиус R= 6 см,
угол дуги
Найти: длину дуги окружности
1) L = • 30° = • 30° = π (см)
2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)
3) L = • 60° = 2π (см)
4) L = • 90° = 3π (см)
Задача 127.
ABCDEF - правильный шестиугольник,
площадь шестиугольника S6 = 24 см2
Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?
C = 2πR
Значит, нужно найти радиус описанной окружности.
Площадь шестиугольника определяется по формуле
S6 = • P6 • r6
Радиус вписанной окружности определяется по формуле
r6 = R • Cos = • R
Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R
Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)
S6 = • P6 • r6 = • 6R • • R = 1,5•R2
24= 1,5•R2
R2 = = 16 Получаем радиус описанной окружности
R = = 4 (см)
Тогда длина описанной окружности равна
C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)
ответ: 8π см.
Задача 128.
ABCD - квадрат,
сторона квадрата AB = a
Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?
r4 = R • Cos = R • Cos 45° = R
C = 2π • r = 2π • R = π • R
AB = a = 2r = R. Значит, C = π • R= π • a
ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a
Задача 129.
Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур
1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;
a, b – катеты
2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;
a – основание, b – сторона
3) ABCD – вписанный прямоугольник,
BC = a – сторона прямоугольника,
α – острый угол между диагоналями
Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?
1)
2R = AB R = AB
AB =
Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника
C = 2π • • = π
2)
BH = =
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
SΔABC = BH • AC = (1)
Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:
SΔABC = = (2)
Используя равенства (1) и (2), получаем
= R =
Пусть C и C′ - длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.
Pn и Pn′ - их периметры, an и an′ - стороны.
Pn = n • an = n • 2R • Sin
Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin
Тогда
Зная, что периметры Pn и Pn′ - приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем
Но в силу равенства получаем
По свойству пропорции
Значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.
Формула длины окружности:
***
Задача 124.
Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12
Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1
Если C = 18π, то радиус окружности R == = 9
***
Задача 125.
Дано:
a - сторона правильного треугольника
Найдите: длину описанной окружности
Т.к. сторона правильного многоугольника
an = 2R • Sin (), тогда сторона правильного треугольника
a = R R =
Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR =
***
Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.
Градусная мера окружности 360°,
Длина окружности C = 2πR
Длина дуги в 1° равна
Тогда длина дуги окружности в α градусах:
***
Задача 126.
Дано:
радиус R= 6 см,
угол дуги
1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°Найти: длину дуги окружности
1) L = • 30° = • 30° = π (см)
2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)
3) L = • 60° = 2π (см)
4) L = • 90° = 3π (см)
***
Задача 127.
Дано:
ABCDEF - правильный шестиугольник,
площадь шестиугольника S6 = 24 см2
Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?
C = 2πR
Значит, нужно найти радиус описанной окружности.
Площадь шестиугольника определяется по формуле
S6 = • P6 • r6
Радиус вписанной окружности определяется по формуле
r6 = R • Cos = • R
Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R
Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)
S6 = • P6 • r6 = • 6R • • R = 1,5•R2
24= 1,5•R2
R2 = = 16 Получаем радиус описанной окружности
R = = 4 (см)
Тогда длина описанной окружности равна
C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)
ответ: 8π см.
***
Задача 128.
Дано:
ABCD - квадрат,
сторона квадрата AB = a
Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?
r4 = R • Cos = R • Cos 45° = R
C = 2π • r = 2π • R = π • R
AB = a = 2r = R. Значит, C = π • R= π • a
ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a
***
Задача 129.
Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур
1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;
a, b – катеты
2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;
a – основание, b – сторона
3) ABCD – вписанный прямоугольник,
BC = a – сторона прямоугольника,
α – острый угол между диагоналями
Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?
1)
2R = AB R = AB
AB =
Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника
C = 2π • • = π
2)
BH = =
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
SΔABC = BH • AC = (1)
Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:
SΔABC = = (2)
Используя равенства (1) и (2), получаем
= R =
DE = r = 5 см
DG = DE = DF = 5 см – как радиусы вписанной окружности
Рассмотрим ∆ CDF (угол CFD = 90°):
По теореме Пифагора:
CD² = DF² + CF²
CF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
CF = 12 см
2) Рассмотрим ∆ CBE (угол СЕВ = 90°):
По теореме касательных к окружности, проведённых из одной точки
BD – биссектриса угла ABC
По свойству биссектрисы:
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам →
CD/ DE = CB/ BE = 13 / 5
Пусть FB = BE = x , как отрезки кательных к окружности, проведённых из одной точки →
CB / BE = 13 / 5
( 12 + x ) / x = 13 / 5
13x = 5 × ( 12 + x )
13x = 60 + 5x
13x – 5x = 60
8x = 60
x = 60/8 = 7,5 см
Значит, FB = BE = 7,5 см
По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки →
CG = CF = 12 см
GA = AE = 7,5 см
P abc = AC + CB + AB = 12 + 7,5 + 12 + 7,5 + 7,5 + 7,5 = 24 + 30 = 54 см
ОТВЕТ: P abc = 54 см.