Найдите сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 и 8, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Вариант решения. Опустим высоту из тупого угла. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. Боковая сторона- катет прямоугольного треугольника, образованного основанием, диагональю и боковой стороной трапеции. Обозначим ее х. Меньший отрезок на основании=1. Тогда х²=10*1=10 х=√10 см
Відповідь:
Даны вершины пирамиды А (3; -1; 1), B (5; 2; -1), C (2; -2; 1), D (2; 7; 1).
а) угол между ребрами АВ и АС;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =(2; 3; -2). Модуль = √17 ≈ 4,123.
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-1; -1; 0). Модуль = √2 ≈ 1,414.
Их скалярное произведение равно -2 - 3 + 0 = -5.
cos a = |-5|/(√17*√2) = 5/√34 ≈ 0,8575.
Угол равен arc cos(5/√34) = 0,5404 радиан или 30,964 градуса.
б) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:
а1 а2 а3
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Подставим координаты векторов, полученные выше:
a1 a2 a3 S =
-2 2 1 1,5 .
в) объем тетраэдра АВСD;
Надо ещё определить координаты вектора АД.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; 8; 0). Модуль = √65 ≈ 8,0622.
Объем тетраэдра АВСD равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВхАС) х (АД).
V = (1/6)*((-2)*(-1) + 2*8 + 1*0) = (1/6)*18 = 3 куб.ед.
г) уравнение плоскости АВС определяем по координатам точек.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 3 y - (-1) z - 1
5 - 3 2 - (-1) (-1) - 1
2 - 3 (-2) - (-1) 1 - 1 = 0
(x - 3) (y - (-1)) ( z - 1 )
2 3 -2
-1 -1 0 = 0
(x - 3)*3·0-(-2)·(-1) - (y - (-1))*2·0-(-2)·(-1) + (z - 1)*2·(-1)-3·(-1) = 0
(-2)(x - 3) + 2(y - (-1)) + 1(z - 1) = 0
-2x + 2y + z + 7 = 0
д) угол между ребром АD и гранью АВС;
sin b = (-2*-1+2*8+1*0)/(3*√65) = 18/(3√65) = 6/√65.
Угол равен 0,8393 радиан или 48,091 градуса.
е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).
Уравнение плоскости АВС: -2x + 2y + z + 7 = 0 .
Точка D = (2; 7; 1).
Уравнение высоты (x - 2)/-2 = (y - 7)/2 = (z - 1)/1.
Пояснення: Это одинаковые задачи, просто подставь свои числа
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Вариант решения.
Опустим высоту из тупого угла.
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.
Боковая сторона- катет прямоугольного треугольника, образованного основанием, диагональю и боковой стороной трапеции. Обозначим ее х. Меньший отрезок на основании=1. Тогда
х²=10*1=10
х=√10 см