Дано: вершини трикутника ABC: A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ). Знайти:
а) рівняння сторони AB ;
б) рівняння висоти CH ;
в) рівняння медіани AM ;
г) точку K - перетину медіани AM і висоти CH ;
д) рівняння прямої, що проходить через точку C , паралельно стороні AB ;
е) відстань від точки C до прямої AB. Точки А(-5;2) В( 0;-4) С(5;7)

|Дано: вершины треугольника ABC: А (-5; 2) В (0; -4) С (5; 7).

а) уравнение стороны АВ.

AB: (x−xA)/(xB−xA)=(y−yA)/(yB−yA) ⇔ (x−(−5))/(0−(−5))=(y−2)/(−4−2) ⇔ (x+5)/5=(y−2)/(−6) ⇔ 6x+5y+20=0.

б) уравнение высоты CH.

CН: (x−xC)/(yB−yA)=(y−yC)/(xA−xB) ⇔ (x−5)/(−4−2)=(y−7)/(−5−0) ⇔

(x−5)/(−6)=(y−7)/(−5)⇔ 5x−6y+17=0.

в) уравнение медианы AM.

Найдем основание медианы АМ (точки пересечения медианы со стороной ВС). Пусть A1 — точка пересечения медианы проведённая из вершины A со стороной BC. Тогда:

A1(xA1;yA1)=A1(xB+xC)/2;yB+yC/2)=A1(0+5)/2;−4+7)/2)=A1(5/2;3/2)=A1(2.5;1.5).

Получаем уравнение АМ.

AМ: (x−xA)/(xA1−xA)=(y−yA)/(yA1−yA) ⇔ (x−(−5))/(2.5−(−5))=(y−2)/(1.5−2) ⇔ (x+5)/7.5=(y−2)/(−0.5) ⇔ x+15y−25=0.

г) точка K - пересечение медианы AM и высоты CH.

Надо решить систему.

{x+15y−25=0, x(-5) = -5x-75y+125=0

{5x−6y+17=0.             5x−6y+17=0  

                                       -81y+142=0,     y = 142/81 ≈ 1,75308642.

x = 25 - 15y = 25 - (15*142/81) = -105/81 = -35/27 ≈ -1,296296296.

д) уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне A.

Коэффициенты в уравнении АВ такие же, как и в уравнении заданной прямой: 6x+5y+С=0. Для определения слагаемого С подставим коэффициенты точки С.

6*5 + 5*7 + С = 0, отсюда С = -30-35 = -65.

Уравнение: 6x+5y-65=0.

е) расстояние от точки C до прямой AB (это высота СH).

Эту задачу можно решить двумя .

1)По уравнениям СН и АВ найти точку Н пересечения с АВ. Длина по разности координат точек С и Н.

2) Сначала найти площадь треугольника, потом СН = 2S/AB.

Вычислим длины сторон:

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √61 ≈  7,810249676,

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =√146  ≈ 12,08304597,

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √125 ≈ 11,18033989.

Периметр: P=|AB|+|AC|+|BC|=61−−√+55–√+146−−−√≈31.074.

Полупериметр: p=P2=31.074/2≈15.537.

Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 42,5.

CН = 2S/АВ = 10,88313479.