Дано зображення прямокутного паралелепіпеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 (рис. 189). Укажіть площину, яка перпендикулярна до прямої AA 1 і
проходить через точку А. ( )
a) DCC 1 ; б) А 1 B 1 С 1 ; в) BCD; г) ВСС 1 .

1)
Уравнение прямой А1А2
ax+by+c=0
Подставляем координаты точек А1 и А2
-5а+2b+c=0
5a+b+c=0
Сложим
3b+2c=0
Пусть с= -15 тогда b=10 a=1

А1А2
x+10y-15=0

Нормализованное уравнение прямой
к=√(1+100)=√101

x/√101+10y/√101-15/√101=0

Сделаем сразу пункт
5) Подставляем координаты точки А4 в нормализованное уравнение
5/√101+160/√101-15/√101=150/√101

2)
Точка М - середина А1А3
М(-2.5;3)
Подставляем А2и М в уравнение прямой
5а+b+c=0
-2.5a+3b+c=0 или -5а+6b+2c=0
Сложим
7b+3c=0
Пусть с= -7 тогда b=3 a=0.8
Медиана
0.8x+3y-7=0

Вектор А1А3(5;2)
Высота проходит через точку А2(5;1) и перпендикулярна А1А3
Перпендикулярный вектор (2;5)
Ещё одна точка на высоте A2+(2;5)= (7;6)
Подставляем координаты точек в уравнение прямой
5a+b+c=0
7a+6b+c=0
Вычтем
2a+5b=0
Пусть а= -5 тогда b=2 c=23
Высота
-5x+2y+23=0

3)
Вектора
А2А1(-10;1) длина√101
А2А3(-5;3) длина √34
Косинус угла А2
А2А1*А2А3/|А2А1|/|А2А3|=53/√101/√34=53/√3434

4) Площадь А1А2А3= 1/2 |А2А1хА2А3| =25/2=12.5

Смотрим рисунок, данный в приложении. 

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые  соединяют середины сторон ABCD, являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒ 

Четырехугольник КМНР - параллелограмм. 

 Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника - диагонали получившегося параллелограмма. 

Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР  равны половине диагоналей АВСD. 

Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4

КР=ВD:2=а/2

КМ=АС:2=3а/8 

По условию диагонали прямоугольника равны 15. 

Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР. 

МР²=КМ²+КР²

15²=(3а/8)²+(а/2)²

225=9а²/64+а²/4 ⇒

25а²/64=225 откуда 

а²=576

а=24

КР=МН=24:2=12

КМ=РН=24:8•3=9