Сначала найдем стороону ромба. Диагонали ромба перпендкулярны и делятся в точке пересечения пополам. Тогда сторона ромба это гипотенуза треугольника с катетами 16/2 и 30/2, т.е. 8 и 15. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы = 8*8+15*15=289 Тогда гипотенуза равна корню из 289 т.е. 17 Следовательно сторона ромба ранва 17 см. В данной прямой призме боковые грани - прямоугольники с основанием раным стороне ромба. Поскольку у ромба все стороны равны, то достаточно найти площадь оодной грани и умножить на 4 так как у ромба 4 стороны. Основание грани равно стороне ромба т.е. равно 17 см. Рассмотрм прямоугольный треугольник образованный диагональю, основанием и высотой призмы. Диагональ грани образует угол 60 градусов с основанием. Значит второй угол в треугольнике 30 градусов. По свойству такого треугольника гипотенуза в 2 раза больше катета лежащего против угла в 30 градусов. Т.е. Диагональ равна 17*2 = 34 см, а второй катет (т.е. высота призмы) по теореме Пифагора будет равне корню квадратному из 34 в квадрате минус 17 в квадрате. Т.е. 17 умножить на корень из 3 т.е.. Тогда площадь одной грани равна основание 17 см умножить на высоту призмы А пплощадь боковой поверхности равна этому выражени. умноженному на 4 так как у этой призмы 4 одинаковые грани ответ .
Вторая задача показалась мне полезной :) 1. Биссектриса MP делит KN пропорционально сторонам, то есть NP = 20; KP = 16; отсюда по формуле длинны биссектрисы (одной из десятков :), L^2 = ab - xy) MP^2 = 24*30 - 20*16 = 10*8*(3*3 - 2*2) = 400; MP = 20; 2. Если продолжить AK и CK до пересечения со сторонами в точках A1 и C1, то из теоремы Чевы (BC1/AC1)*(CA1/BA1)*(AM/CM) = 1; так как AM = CM; BC1/AC1 = BA1/CA1; кстати => A1C1 II AC; и из теоремы Ван-Обеля BC1/AC1 + BA1/CA1 = BK/KM = 1; => BC1/AC1 = BA1/CA1 = 1/2; получается AC1 = 4; BC1 = 2; (Примечание. Все это можно получить и без теорем Чевы и Ван-Обеля, и довольно легко. Самый красивый найти BC1/AC1 вот какой. Известно, что CC1 делит медиану BM (в точке K) пополам. Если провести AP II BM; так что P лежит на продолжении CB за точку B; то СС1 очевидно поделит - при продолжении за C1 - пополам и AP; кроме того, так же очевидно CB = BP; то есть AB и CC1 - медианы треугольника APC; отсюда BC1/AC1 = 1/2; как для любой медианы :), и точно также можно НЕЗАВИСИМО показать BA1/CA1 = 1/2;) Отсюда в трапеции AC1A1C A1C1 = AC/3; диагонали делятся пропорционально основаниям, и получается C1K = CK/3 = 4/3; A1K = AK/3 = 5/3; из теоремы косинусов для треугольника AKC1 со сторонами AC1 = 4; KC1 = 4/3; AK = 5 4^2 = 5^2 + (4/3)^2 - 2*5*(4/3)*cos(α); где α = ∠C1KA = ∠CKA1; аналогично для треугольника A1KC (A1C)^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 2*(5/3)*4*cos(α); если вычесть одно из другого, получится (A1C)^2 - 4^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 5^2 - (5/3)^2 = -8; (AC1)^2 = 4^2 - 8 = 8; A1C = 2√2; ВС = (3/2)*A1C = 3√2; вот как-то так.
Диагонали ромба перпендкулярны и делятся в точке пересечения пополам.
Тогда сторона ромба это гипотенуза треугольника с катетами 16/2 и 30/2, т.е. 8 и 15.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы = 8*8+15*15=289
Тогда гипотенуза равна корню из 289 т.е. 17
Следовательно сторона ромба ранва 17 см.
В данной прямой призме боковые грани - прямоугольники с основанием раным стороне ромба. Поскольку у ромба все стороны равны, то достаточно найти площадь оодной грани и умножить на 4 так как у ромба 4 стороны.
Основание грани равно стороне ромба т.е. равно 17 см.
Рассмотрм прямоугольный треугольник образованный диагональю, основанием и высотой призмы. Диагональ грани образует угол 60 градусов с основанием. Значит второй угол в треугольнике 30 градусов. По свойству такого треугольника гипотенуза в 2 раза больше катета лежащего против угла в 30 градусов. Т.е. Диагональ равна 17*2 = 34 см, а второй катет (т.е. высота призмы) по теореме Пифагора будет равне корню квадратному из 34 в квадрате минус 17 в квадрате. Т.е. 17 умножить на корень из 3 т.е..
Тогда площадь одной грани равна основание 17 см умножить на высоту призмы
А пплощадь боковой поверхности равна этому выражени. умноженному на 4 так как у этой призмы 4 одинаковые грани
ответ .
1. Биссектриса MP делит KN пропорционально сторонам, то есть
NP = 20; KP = 16;
отсюда по формуле длинны биссектрисы (одной из десятков :), L^2 = ab - xy)
MP^2 = 24*30 - 20*16 = 10*8*(3*3 - 2*2) = 400;
MP = 20;
2. Если продолжить AK и CK до пересечения со сторонами в точках A1 и C1, то из теоремы Чевы
(BC1/AC1)*(CA1/BA1)*(AM/CM) = 1;
так как AM = CM; BC1/AC1 = BA1/CA1;
кстати => A1C1 II AC;
и из теоремы Ван-Обеля
BC1/AC1 + BA1/CA1 = BK/KM = 1;
=> BC1/AC1 = BA1/CA1 = 1/2;
получается AC1 = 4; BC1 = 2;
(Примечание. Все это можно получить и без теорем Чевы и Ван-Обеля, и довольно легко.
Самый красивый найти BC1/AC1 вот какой. Известно, что CC1 делит медиану BM (в точке K) пополам. Если провести AP II BM; так что P лежит на продолжении CB за точку B; то СС1 очевидно поделит - при продолжении за C1 - пополам и AP; кроме того, так же очевидно CB = BP; то есть AB и CC1 - медианы треугольника APC; отсюда BC1/AC1 = 1/2; как для любой медианы :), и точно также можно НЕЗАВИСИМО показать BA1/CA1 = 1/2;)
Отсюда в трапеции AC1A1C
A1C1 = AC/3; диагонали делятся пропорционально основаниям, и получается
C1K = CK/3 = 4/3; A1K = AK/3 = 5/3;
из теоремы косинусов для треугольника AKC1 со сторонами AC1 = 4; KC1 = 4/3; AK = 5
4^2 = 5^2 + (4/3)^2 - 2*5*(4/3)*cos(α);
где α = ∠C1KA = ∠CKA1;
аналогично для треугольника A1KC
(A1C)^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 2*(5/3)*4*cos(α);
если вычесть одно из другого, получится
(A1C)^2 - 4^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 5^2 - (5/3)^2 = -8;
(AC1)^2 = 4^2 - 8 = 8; A1C = 2√2;
ВС = (3/2)*A1C = 3√2;
вот как-то так.