Даны координаты четырёх точек в пространстве : А(−2,3,1), В (1,1,1), С (3, −2, −1), Д (−3,0,3).
1) Напишите уравнение плоскости Р, проходящей через точки А,В,С
2) Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно плоскости Р, проходящей через точки А,В,С.
3) Найдите угол между прямыми АВ и АС .
4) Найдите расстояние от точки Д до плоскости Р.
5) Напишите уравнение плоскости Т, проходящей через точку Д, параллельно плоскости Р.
При пересечении двух прямых получаются 4 угла, которые называются вертикальными (см. рис.)
Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.
Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.
Таким образом, ∠1 = ∠3, а ∠2 = ∠4 как вертикальные.
∠1 и ∠2 - смежные, а значит, ∠1 + ∠2 = 180°.
Пусть а ∩ b. ∠2 = 14∠1. Найдем ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4.
Пусть ∠1 = х°, тогда ∠2 = (14х)°. Составим и решим уравнение
х + 14х = 180,
15х = 180х = 180 : 15,
х = 12.
Значит, ∠1 = ∠3 = 12°, а ∠2 = ∠4 = 14 · 12° = 168°.
ответ: 12°, 168°, 12° и 168°.
Так как АН = НВ, НД ⊥ АВ, то треугольник АВД -равнобедренный. Угол ВАД = углу АВД.
Отсюда делаем вывод, что треугольники ВДА и АВС подобны по двум углам.
Площадь треугольника ВДА = 2*50 = 100.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента "к" подобия.
к = √(144/100) = √1,44 = 1,2.
Рассмотрим половины подобных треугольников - прямоугольные треугольники ВДН и АВЕ.
В треугольнике ВДН примем ВН = х, ДН = у, так как АВ = 2х, то ВД = (2х/1,2).
В треугольнике АВЕ катет АЕ = 1,2х, катет ВЕ = 1,2у, гипотенуза АВ = 2х.
Из него по Пифагору определяем:
ВЕ² = (2х)² - (1,2х)² = 4х² - 1,44х² =2,56х².
Тогда ВЕ = 1,2у = 1,6х.
Площадь АВЕ = 144/2 = 72.
Получаем 72 = (1/2)*АЕ*ВЕ = (1/2)*1,2х*1,6х = 0,96х².
х² = 72/0,96 = 75.
х = √75 = 5√3.
ответ: боковые стороны равны по 2х = 2*5√3 = 10√3 кв.ед.