Даны окружность радиусом 2 см и принадлежащая ей точка С. Постройте точку, удалённую от точки С на 1,5 см и от центра окружности на 3 см Даны окружность радиусом 2 см и принадлежащая ей точка С. Постройте точку, удалённую от точки С на 1,5 см и от центра окружности на 3 см. Сколько решений имеет задача?
с чертежом
1)Так как AK является биссектрисой, угол BAK = угол KAD = 60/2 = 30°.
Сумма односторонних углов трапеции = 180°, следовательно, угол ABK = 180 - 60 = 120°
2) Рассмотрим треугольник ABK.
Нам известно, что угол BAK = 30°, угол ABK = 120°, а сумма углов треугольника = 180°, следовательно, угол BKA = 180 - угол ABK - угол BAK = 30°. Угол BAK = угол BKA, следовательно, треугольник BAK - равнобедренный.
3) Если BC = 16, то BK = AB = 8. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то AB = CD = 8, угол BAD = угол CDA.
4) Проведем высоты BH и CP.
Рассмотрим треугольники ABH и DCP
Углы ABH и DCP равны 30°, так как сумма углов треугольника равна 180°
Свойство 30° в прямоугольном треугольнике: если в прямоугольном треугольнике присутствует угол, равный 30°, то катет, который лежит напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно, AH = DP = 8/2 = 4.
5) Рассмотрим BHPC
Так как BC || AD (основания у трапеции параллельны), BH || CP(они оба перпендикулярны стороне AD, следовательно, параллельны друг другу), BHPC - прямоугольник, следовательно, BC = HP = 16.
Найдем AD: AD =AH + HP + PD = 4 + 16 + 4 = 24.
ответ: 24.
Значит стороны треугольника О1О2О3 равны:5,6 и 7.
Тогда площадь этого треугольника по Герону равна:
S=√[p*(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника.
р=(5+6+7)/2=9. S=√(9*4*3*2)=6√6.
Заметим, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС - это вписанная в треугольник О1О2О3 окружность, так как точки А, В и С окружности принадлежат сторонам О1О2,О2О3 и О3О1 соответственно.
Докажем это. Есть формула нахождения длины отрезка от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью: расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 или d=р-с, где р - полупериметр, с - сторона, противоположная углу треугольника.
В нашем случае: О1А=9-7=2, О2А=9-6=3, О3В=9-5=4, следовательно, точки касания вписанной в треугольник АВС окружности совпадают с точками А, В и С касания данных нам окружностей.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p или в нашем случае
r=6√6/9=2√6/3.
ответ: r=2√6/3.