Даны параллельные плоскости α и β. Точки A и B находятся в плоскости β, а точки C и D — в плоскости α. Длина отрезка AC= 16, длина отрезка BD= 12. Сумма проекций этих отрезков на плоскости α равна 14.
1. Чтобы определить проекции отрезков AC и BD, из точек A и B надо провести AE и BF к плоскости α.
2. AE и BF .
3. AE и BF как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями.
4. Длины проекций CE и FD высчитаем из треугольников ACE и BDF. Длина CE= .
Плоскости оснований призмы параллельны. Следовательно, плоскость MNK пересекает их по параллельным прямым ( свойство), и МL параллельно NK.
ВМ=ND1=KD1=5. Треугольник ND1K равнобедренный, ⇒
NK=ND1:sin45°=5√2 ( или по т.Пифагора). Аналогично ML=5√2
а) Опустим из N перпендикуляр NH на АD.
AH=A1N=1, треугольник МАН равнобедренный – MH=√2.
NH=AA1=4√3 – из прямоугольного ∆ МНN гипотенуза
MN=(√(NH²+MH²)=√50=5√2 ⇒ MNKL - ромб.
Треугольник АМН равнобедренный, MBL- равнобедренный, ⇒ ML ║АС, МН ⊥ АС ⇒
HM⊥ML. По т. о 3-х перпендикулярах MN ⊥ML.
Аналогично КL перпендикулярна ML. ⇒
углы MNKL прямые, он - квадрат.
б) Продлим ML в обе стороны до пересечения с прямыми . DA и DC в точках Р и Е соответственно. Точки N и Р принадлежат плоскости АА1В1В, их можно соединить. Точки К и Е принадлежат плоскости DD1C1D, соединим их. Плоскость NPЕК пересечет АА1 в точке Т, а СС1 в точке R.
Соединим Т с N и М, R с К и L. Шестиугольник MTNKRL - сечение, площадь которого надо найти. Искомая площадь состоит из суммы площадей квадрата MNKL и площадей треугольников MTN и KRL.
∆ ATP=∆ A1TN по катету и острому вертикальному углу при вершине Т. Следовательно, Т – середина АА1. AM=A1N, ⇒ ∆ АМT=∆ A1NT, откуда следует МТ=NT. Аналогично R – середина СС1, и KR=LR.
S ∆ PMN=S ∆ KLE = NM•PМ:2
Треугольник РАМ равнобедренный, след. РМ=АМ:sin45°=√2
S PMN=5√2•√2=5
Так как МТ - медиана, площадь треугольника MTN=5:2, а сумма площадей равных ∆ MTN и ∆ KRL равна 5
Красивое лицо — это большое счастье для того, кому оно ни и для того, кому выпала радость им любоваться. Созерцание красивых лицом улучшает настроение людей и радует их так же, как и счастливое сочетание небесных светил.
Красивое лицо благоухает само по себе, а его обладатель не нуждается ни в каких благовониях. Красивое лицо как солнце, отражённое в чистой воде. Оно светит и в отсутствие солнца, поскольку красота лица, как и сияние солнца и светил, есть проявление воли Всевышнего.
Все народы земли воспевают красоту лица. Многое из того, что создано Творцом, приятно взору человеческому, но красота всех этих творений никогда не сможет заменить красоту лица, ибо радость от созерцания никогда не сравнится с радостью, охватывающей людей при виде красавицы или красавца. Если же этот высокий дар красоты пришёл к человеку с добрым нравом, то человек этот дорог Господу и мил людям.
Известны четыре качества, присущие красивому лицу:
— красивое лицо делает благополучным того, кто его созерцает;
— созерцание красивого лица доставляет человеку истинное наслаждение;
— вид красивого лица пробуждает в человеке великодушие и доблесть;
— красивое лицо достичь богатства и высокого положения и тому, кто им обладает, и тому, кто им любуется.
Если человеку выпало счастье утром полюбоваться красивым лицом, то весь день будет для него счастливым.
Красивое лицо вызывает уважение к себе. Оно молодит старика, юношу превращает в малого ребёнка, а ребёнок с красивым лицом становится ангелом. Даже только находясь поблизости от красивого лица, человек ощущает прилив уверенности в себе, отступают его невзгоды, и у него начинают лучше идти дела.
Говорят, что пророк, да благословит его Аллах и приветствует, однажды сказал: «Всё, что нужно, требуйте и получайте у тех, кто получил в дар от Аллаха красивое лицо».
Люди по-разному называют красивые лица: одни считают их ареной любви, другие называют их светом очей и усладой глаз, третьи считают их украшением жизни и подтверждением существования рая. А те, кому приоткрыто высшее знание, считают, что красивое лицо доказывает существование Аллаха и представляет собой видимый след Его милости и милосердия, отражая красоту и гармонию мира, созданного Творцом.
Некоторые полагают, что красивое лицо даётся Создателем в награду за заслуги в прежней жизни, другие считают этот дар случайным дождём милости Господа и полагают, что получивший этот дар обладает совершать чудеса и легко находить кратчайший путь к истине.
Плоскости оснований призмы параллельны. Следовательно, плоскость MNK пересекает их по параллельным прямым ( свойство), и МL параллельно NK.
ВМ=ND1=KD1=5. Треугольник ND1K равнобедренный, ⇒
NK=ND1:sin45°=5√2 ( или по т.Пифагора). Аналогично ML=5√2
а) Опустим из N перпендикуляр NH на АD.
AH=A1N=1, треугольник МАН равнобедренный – MH=√2.
NH=AA1=4√3 – из прямоугольного ∆ МНN гипотенуза
MN=(√(NH²+MH²)=√50=5√2 ⇒ MNKL - ромб.
Треугольник АМН равнобедренный, MBL- равнобедренный, ⇒ ML ║АС, МН ⊥ АС ⇒
HM⊥ML. По т. о 3-х перпендикулярах MN ⊥ML.
Аналогично КL перпендикулярна ML. ⇒
углы MNKL прямые, он - квадрат.
б) Продлим ML в обе стороны до пересечения с прямыми . DA и DC в точках Р и Е соответственно. Точки N и Р принадлежат плоскости АА1В1В, их можно соединить. Точки К и Е принадлежат плоскости DD1C1D, соединим их. Плоскость NPЕК пересечет АА1 в точке Т, а СС1 в точке R.
Соединим Т с N и М, R с К и L. Шестиугольник MTNKRL - сечение, площадь которого надо найти. Искомая площадь состоит из суммы площадей квадрата MNKL и площадей треугольников MTN и KRL.
Рассмотрим прямоугольный ∆ РАМ. Он подобен равнобедренному прямоугольнику МВL, следовательно, РА=АМ=1.
∆ ATP=∆ A1TN по катету и острому вертикальному углу при вершине Т. Следовательно, Т – середина АА1. AM=A1N, ⇒ ∆ АМT=∆ A1NT, откуда следует МТ=NT. Аналогично R – середина СС1, и KR=LR.
S ∆ PMN=S ∆ KLE = NM•PМ:2
Треугольник РАМ равнобедренный, след. РМ=АМ:sin45°=√2
S PMN=5√2•√2=5
Так как МТ - медиана, площадь треугольника MTN=5:2, а сумма площадей равных ∆ MTN и ∆ KRL равна 5
SMNKL=(5√2)²=50
S MTNKRL= 50+5=55 (ед площади).
Красивое лицо — это большое счастье для того, кому оно ни и для того, кому выпала радость им любоваться. Созерцание красивых лицом улучшает настроение людей и радует их так же, как и счастливое сочетание небесных светил.
Красивое лицо благоухает само по себе, а его обладатель не нуждается ни в каких благовониях. Красивое лицо как солнце, отражённое в чистой воде. Оно светит и в отсутствие солнца, поскольку красота лица, как и сияние солнца и светил, есть проявление воли Всевышнего.
Все народы земли воспевают красоту лица. Многое из того, что создано Творцом, приятно взору человеческому, но красота всех этих творений никогда не сможет заменить красоту лица, ибо радость от созерцания никогда не сравнится с радостью, охватывающей людей при виде красавицы или красавца. Если же этот высокий дар красоты пришёл к человеку с добрым нравом, то человек этот дорог Господу и мил людям.
Известны четыре качества, присущие красивому лицу:
— красивое лицо делает благополучным того, кто его созерцает;
— созерцание красивого лица доставляет человеку истинное наслаждение;
— вид красивого лица пробуждает в человеке великодушие и доблесть;
— красивое лицо достичь богатства и высокого положения и тому, кто им обладает, и тому, кто им любуется.
Если человеку выпало счастье утром полюбоваться красивым лицом, то весь день будет для него счастливым.
Красивое лицо вызывает уважение к себе. Оно молодит старика, юношу превращает в малого ребёнка, а ребёнок с красивым лицом становится ангелом. Даже только находясь поблизости от красивого лица, человек ощущает прилив уверенности в себе, отступают его невзгоды, и у него начинают лучше идти дела.
Говорят, что пророк, да благословит его Аллах и приветствует, однажды сказал: «Всё, что нужно, требуйте и получайте у тех, кто получил в дар от Аллаха красивое лицо».
Люди по-разному называют красивые лица: одни считают их ареной любви, другие называют их светом очей и усладой глаз, третьи считают их украшением жизни и подтверждением существования рая. А те, кому приоткрыто высшее знание, считают, что красивое лицо доказывает существование Аллаха и представляет собой видимый след Его милости и милосердия, отражая красоту и гармонию мира, созданного Творцом.
Некоторые полагают, что красивое лицо даётся Создателем в награду за заслуги в прежней жизни, другие считают этот дар случайным дождём милости Господа и полагают, что получивший этот дар обладает совершать чудеса и легко находить кратчайший путь к истине.