1) Наверное, все-таки, РАВНЫЕ отрезки, а не РАЗНЫЕ ?..)) По теореме Фалеса параллельные прямые откладывают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как оба отрезка равны, то прямая, проведенная через концы этого отрезка будет параллельна основанию треугольника и, следовательно, будет перпендикулярна медиане к основанию. Последнее следует из того, что в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также биссектрисой угла при вершине и высотой данного треугольника. Так как данный отрезок перпендикулярен медиане и делится ей пополам так же, как и основание, можно утверждать, что расстояния от концов отрезка до любой точки на медиане будут равны между собой.
2) Так как CED - равнобедренный, то ∠ECD = ∠EDC => ∠ECM = ∠MCD = ∠EDH = ∠HDC Тогда ΔHDC = ΔMCD по стороне и двум углам: (CD - общая, ∠HDC = ∠MCD, ∠HCD = ∠MDC) Отсюда следует, что HC = MD.
В ΔСАН и ΔMAD: HC = MD, ∠HCM = ∠MDA, ∠MAD = ∠HAC => эти треугольники равны по стороне и двум углам
По теореме Фалеса параллельные прямые откладывают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как оба отрезка равны, то прямая, проведенная через концы этого отрезка будет параллельна основанию треугольника и, следовательно, будет перпендикулярна медиане к основанию. Последнее следует из того, что в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также биссектрисой угла при вершине и высотой данного треугольника.
Так как данный отрезок перпендикулярен медиане и делится ей пополам так же, как и основание, можно утверждать, что расстояния от концов отрезка до любой точки на медиане будут равны между собой.
2) Так как CED - равнобедренный, то ∠ECD = ∠EDC =>
∠ECM = ∠MCD = ∠EDH = ∠HDC
Тогда ΔHDC = ΔMCD по стороне и двум углам:
(CD - общая, ∠HDC = ∠MCD, ∠HCD = ∠MDC)
Отсюда следует, что HC = MD.
В ΔСАН и ΔMAD: HC = MD, ∠HCM = ∠MDA, ∠MAD = ∠HAC =>
эти треугольники равны по стороне и двум углам
d(М, АВ) = d(M, BC) = 4 дм
d(M, AD) = d(M, СD) = 2√5 дм
d(M, BD) = 4 дм
d(M, AC) = 3√2 дм
Объяснение:
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
МВ - перпендикуляр к плоскости квадрата, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
МВ⊥АВ, значит расстояние от точки М до прямой АВ
d(М, АВ) = МВ = 4 дм
МВ⊥ВС, значит
d(M, BC) = MB = 4 дм
МВ⊥BD, значит
d(M, BD) = MB = 4 дм
BA⊥AD как стороны квадрата,
ВА - проекция МА на плоскость, значит МА⊥AD по теореме о трех перпендикулярах, тогда
d(M, AD) = MA
Аналогично, ВС⊥CD как стороны квадрата, ВС - проекция МС на плоскость, значит МС⊥CD по теореме о трех перпендикулярах, тогда
d(M, СD) = MС
Если равны проекции наклонных, проведенных из одной точки, то равны и сами наклонные:
ВС = ВА (стороны квадрата), значит МС = МА.
Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора:
МА = √(АВ² + ВМ²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5 дм
Итак,
d(M, AD) = d(M, СD) = 2√5 дм
Осталось найти расстояние от М до диагонали АС.
ВО⊥АС по свойству диагоналей квадрата,
ВО - проекция МО на плоскость квадрата, значит
МО⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
d(M, AC) = MO
BD = AB√2 =2√2 дм как диагональ квадрата,
BО = BD/2 = √2 дм (диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам)
Из прямоугольного треугольника МВО по теореме Пифагора:
МО = √(ВО² + ВМ²) = √(2 + 16) = √18 = 3√2 дм
d(M, AC) = 3√2 дм