Даны точки А(8; ̶ 4), В( ̶ 2; 5), С( ̶ 1; ̶ 3) найти: 3.1 канонические уравнения прямых АВ, АС и ВС. 3.2 уравнения прямых АВ, АС и ВС в общем виде 3.3 уравнения прямых АВ, АС и ВС с угловым коэффициентом 3.4 углы А, В и С. 3.5 Высоту треугольника АВС проведенную из вершины А
Для нахождения канонического уравнения прямой воспользуемся формулой:
Ax + By + C = 0, где A, B и C - это коэффициенты, которые мы должны найти.
3.1.1 Для прямой АВ:
Перед тем, как найти коэффициенты, найдем угловой коэффициент для прямой, используя формулу:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек на прямой.
m = (5 - (-4)) / ((-2) - 8) = 9 / (-10) = -9/10
Теперь зная угловой коэффициент, мы можем записать уравнение прямой АВ в канонической форме:
y - y1 = m(x - x1) (где (x1, y1) - координаты одной из точек на прямой)
Таким образом:
y - (-4) = (-9/10)(x - 8)
Упрощая уравнение, получаем:
y + 4 = (-9/10)x + 72/10
y = (-9/10)x + 72/10 - 4
y = (-9/10)x + 72/10 - 40/10
y = (-9/10)x + 32/10
Чтобы получить уравнение в канонической форме, умножим все члены на 10:
10y = -9x + 32
Таким образом, каноническое уравнение прямой АВ - 9x + 10y - 32 = 0.
3.1.2 Для прямой АС:
Аналогично найдем угловой коэффициент между точками А и С:
m = (-3 - (-4)) / ((-1) - 8) = 1 / (-9) = -1/9
Уравнение прямой АС в канонической форме будет:
y - (-4) = (-1/9)(x - 8)
уравнение(AС) будет иметь вид:y = -1/9x -20 + 4
y = -1/9x -16
Умножаем на 9 чтобы избавиться от знаменателя:
9y = -x -144
Таким образом, каноническое уравнение прямой АС - x + 9y + 144 = 0.
3.1.3 Для прямой ВС:
Найдем угловой коэффициент между точками В и С:
m = (-3 - 5) / ((-1) - (-2)) = -8 / 1 = -8
Уравнение прямой ВС в канонической форме будет:
y - 5 = -8(x - (-2))
y - 5 = -8(x + 2)
y - 5 = -8x - 16
y = -8x - 16 + 5
y = -8x - 11
Таким образом, каноническое уравнение прямой ВС - 8x + y + 11 = 0.
3.2 Уравнения прямых АВ, АС и ВС в общем виде:
Уравнение прямой в общем виде имеет вид Ax + By + C = 0, где коэффициенты A, B и C могут быть любыми.
3.2.1 Уравнение прямой АВ в общем виде:
9x - 10y + 32 = 0
3.2.2 Уравнение прямой АС в общем виде:
x + 9y + 144 = 0
3.2.3 Уравнение прямой ВС в общем виде:
8x - y + 11 = 0
3.3 Уравнения прямых АВ, АС и ВС с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.
3.3.1 Уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом:
y = -9/10x + 32/10
3.3.2 Уравнение прямой АС с угловым коэффициентом:
y = -1/9x -16
3.3.3 Уравнение прямой ВС с угловым коэффициентом:
y = -8x - 11
3.4 Углы А, В и С:
Для нахождения углов воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя прямыми:
t = arctan((m1 - m2) / (1 + m1 * m2)), где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.
3.4.1 Угол АВ:
m1 = -9/10, m2 = -1/9
t = arctan((-9/10 - (-1/9)) / (1 + (-9/10 * -1/9)))
t = arctan((-9/10 + 1/9) / (1 + 9/10/9))
t = arctan((-81/90 + 10/90) / (1 + 1/10))
t = arctan((-71/90) / (11/10))
t = arctan((-71/90) * (10/11))
t = arctan(-71/99) ≈ -38.94°
Таким образом, угол АВ около -38.94°.
3.4.2 Угол АС:
m1 = -9/10, m2 = -8
t = arctan((-9/10 - (-8)) / (1 + (-9/10 * -8)))
t = arctan((-9/10 + 8) / (1 + 9/10/8))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/10/8))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan(1/10) ≈ 5.71°
Таким образом, угол АС около 5.71°.
3.4.3 Угол ВС:
m1 = -1/9, m2 = -8
t = arctan((-1/9 - (-8)) / (1 + (-1/9 * -8)))
t = arctan((-1/9 + 8) / (1 + 1/9/8))
t = arctan((71/9*8) / (1 + 1/9/8))
t = arctan((71/9*8) / (1 + 1/72))
t = arctan(568/9*10) ≈ 89.94°
Таким образом, угол ВС около 89.94°.
3.5 Высоту треугольника АВС проведенную из вершины А:
Высота треугольника проведена из вершины А называется прямая, перпендикулярная стороне ВС и проходящая через точку А.
Для нахождения высоты треугольника из вершины А, необходимо найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной стороне ВС.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен обратному числу, обратному угловому коэффициенту прямой ВС.
Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен 1/8.
Уравнение высоты треугольника будет иметь вид:
y - (-4) = (1/8)(x - 8)
y + 4 = (1/8)x - 1
y = (1/8)x - 1 - 4
y = (1/8)x - 5
Умножаем на 8 чтобы избавиться от знаменателя:
8y = x - 40
Таким образом, уравнение высоты треугольника АВС проведенной из вершины А - x - 8y + 40 = 0.