Даны треугольники ABC, DEF и MNK. Про треугольник ABC известно, что ВС = 5, AC = 8, угол C = 47°.
Про треугольник DEF известно, что ED = 6, EF = 5, угол E = 73°,
угол F = 47°.
Про треугольник MNK известно, что МК = 8, NK = 5, угол K = 47°,
угол N = 73°.
Найдите AB, DF, MN, угол А, угол В, угол D, угол M.
1. Найдем сторону AB треугольника ABC с помощью теоремы косинусов.
Верно равенство: ВС^2 = АС^2 + AB^2 - 2 * АС * AB * cos(C)
Подставляем известные значения: 5^2 = 8^2 + AB^2 - 2 * 8 * AB * cos(47°)
Упрощаем уравнение: 25 = 64 + AB^2 - 16 * AB * cos(47°)
Переносим все влево: AB^2 - 16 * AB * cos(47°) - 39 = 0
Теперь получаем квадратное уравнение, которое можно решить используя дискриминант.
Дискриминант D = B^2 - 4AC = (-16 * cos(47°))^2 - 4 * 1 * (-39)
D = 256 * cos^2(47°) + 156 = 280.61
Найдем корни квадратного уравнения: AB = (-(-16 * cos(47°)) ± √(280.61)) / 2
AB = (16 * cos(47°) ± √(280.61)) / 2
Подставляем значения и вычисляем корни:
AB1 = (16 * cos(47°) + √(280.61)) / 2 ≈ 12.96
AB2 = (16 * cos(47°) - √(280.61)) / 2 ≈ 0.04
Согласно свойствам треугольника, сторона не может быть отрицательной, поэтому AB ≈ 12.96.
2. Найдем сторону DF треугольника DEF снова, используя теорему косинусов.
Верно равенство: ED^2 = DE^2 + DF^2 - 2 * DE * DF * cos(E)
Подставляем известные значения: 6^2 = 5^2 + DF^2 - 2 * 5 * DF * cos(73°)
Упрощаем уравнение: 36 = 25 + DF^2 - 10 * DF * cos(73°)
Переносим все влево: DF^2 - 10 * DF * cos(73°) - 11 = 0
Как и в предыдущем случае, находим дискриминант и решаем квадратное уравнение:
D = B^2 - 4AC = (-10 * cos(73°))^2 - 4 * 1 * (-11)
D = 85.29
DF = (-(-10 * cos(73°)) ± √(85.29)) / 2
DF ≈ (10 * cos(73°) ± √(85.29)) / 2
Вычисляем корни: DF1 ≈ 2.43 и DF2 ≈ 17.57
Снова, сторона не может быть отрицательной, поэтому DF ≈ 2.43.
3. Теперь найдем сторону MN треугольника MNK с помощью теоремы косинусов.
Аналогично предыдущим задачам, используем формулу:
MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 * MN * NK * cos(K)
Подставляем известные значения: 8^2 = MN^2 + 5^2 - 2 * MN * 5 * cos(47°)
Упрощаем выражение: 64 = MN^2 + 25 - 10 * MN * cos(47°)
Переносим все влево: MN^2 - 10 * MN * cos(47°) - 39 = 0
Вычисляем дискриминант: D = (-10 * cos(47°))^2 - 4 * 1 * (-39)
D = 280.61
Решаем квадратное уравнение и находим MN:
MN = (-(-10 * cos(47°)) ± √(280.61)) / 2
MN ≈ (10 * cos(47°) ± √(280.61)) / 2
Вычисляем корни: MN1 ≈ 11.96 и MN2 ≈ 0.04
Опять же, сторона не может быть отрицательной, поэтому MN ≈ 11.96.
4. Для нахождения углов А, В, D, M воспользуемся свойствами треугольников.
Углы треугольника суммируются в сумму 180°, поэтому можем выразить нужные углы через известные:
Угол А = 180° - угол C - угол B = 180° - 47° - 90° = 43°
Угол В = 180° - угол C - угол A = 180° - 47° - 43° = 90°
Угол D = 180° - угол E - угол F = 180° - 73° - 47° = 60°
Угол M = 180° - угол K - угол N = 180° - 47° - 73° = 60°
Таким образом, мы нашли следующие значения:
AB ≈ 12.96
DF ≈ 2.43
MN ≈ 11.96
Угол А ≈ 43°
Угол В ≈ 90°
Угол D ≈ 60°
Угол M ≈ 60°