Даны треугольники АВС и ADC, АВ = AD,<ВАС =
нужно

1) ∠SAD = 30°.

2) ∠ASO = 30°.

3) ∠SAC = 60°.

4) ∠SHO = 30°.

Объяснение:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые ребра равны, углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны, углы при вершинах основания равны 120°, а стороны основания равны расстоянию от центра основания (проекции вершины на плоскость основания) до вершин основания.

Тогда:

1) В прямоугольном треугольнике АSО косинус угла SAO равен сos(∠SAO) = АО/AS = √3/2. =>

∠SAD = ∠SAO = arccos(√3/2) = 30°.

2) В прямоугольном треугольнике АSО тангенс угла АSO равен tg(∠ASO) = АО/SO = 1/√3. =>

∠ASO = arctg(√3/3) = 30°.

3)  По теореме косинусов в треугольнике АВС сторона

АС = √(АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·Cos120) => √(6+6·1/2) = 3ед. =>

Треугольник АSС равносторонний (AS=CS=3 - дано, АС = 3) и

∠SAC = 60°.

4) Угол между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой SH  (высотой основания) и плоскостью основания. В нашем случае это угол SHO прямоугольного треугольника SHO.

Cos(∠SHO) = OH/SH.  OH - высота правильного треугольника AOF.

OH = (√3/2)·AF .  SH = AF - дано.  Тогда

Cos(∠SHO) = (√3/2)·AF /AF = √3/2.

∠SHO = arccos(√3/2)  = 30°.

Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать