1)равные отрезки имеют равные длины. 2)геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки, называется углом. 3) Угол, больший прямого угла, но меньший развернутого, называется тупым. 4) Вертикальные углы равны. 5) В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны. 6)В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. 7)треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным. 8) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 9) точка, от которой все точки окружности расположены на заданном расстоянии, называется центром окружности.
10) часть окружности, ограниченная двумя точками, называется дугой. 11) если две параллельные прямые пересечены секущей, то для односторонних углов верно утверждение - их сумма равна 180°. 12) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. 13) сумма углов треугольника равна 180°. 14) отрезок, проведенный из точки к прямой под углом, отличным от прямого, называется наклонной. 15) расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой – отрезок, проведенный перпендикулярно между этими прямыми.
а) Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BHA=α+<BPA. Или α+<BPA=90°. Или
α=90°-(1/2)*<A - <С.(1)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (1):
α=90°-(1/2)*(180-<B-<C) - <С. Или
α=90°-90°+<B/2 +<C/2-<C = <B/2-<C/2.
ответ: искомый угол равен α=|<B-<C|/2, что и требовалось доказать.
Второй вариант:
Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (1) (внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BРA=α+90°. Тогда из (1):
α=(1/2)*<A +<С - 90°. (2)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (2):
α=90°-(1/2)*<B-(1/2)*<C) - 90°+<С. Или
α=<С/2 - <В/2 = |<B-<C|/2.
P.S. Рассматривать все комбинации углов треугольника (в том числе и
тупоугольниго) нет необходимости, так как доказательство будет
подобным. Искомый угол равен модулю разности значений углов
В и С, так как отрицательное значение не удовлетворяет условию.
б). Искомый угол - угол СDE = α.
<CBE - внешний угол треугольника CDB.
<CBE=<DCB+α = >
(1/2)*(180 - <B) =(1/2)*<C + α . =>
α = 90° - (1/2)*<B -(1/2)*<C.
α = 90° - (1/2)*(<B+<C) . =>
2α = 180° - (<B+<C) . =>
2α = <A.
α = <A/2. Что и требовалось доказать.
в) CD и ВЕ - биссектрисы.
Искомый угол - угол α.
α = 180° - (1/2)*(В+С) (сумма внутренних углов треугольника
ВОС=180°). =>
2α =360° -(<B+<C) = 180°+180°-(<B+<C).
<A = 180°-(<B+<C).
2α = 180° + <A.
α = 90°+<A/2, что и требовалось доказать.
1)равные отрезки имеют равные длины.
2)геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки, называется углом.
3) Угол, больший прямого угла, но меньший развернутого, называется тупым.
4) Вертикальные углы равны.
5) В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.
6)В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
7)треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным.
8) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
9) точка, от которой все точки окружности расположены на заданном расстоянии, называется центром окружности.
10) часть окружности, ограниченная двумя точками, называется дугой.
11) если две параллельные прямые пересечены секущей, то для односторонних углов верно утверждение - их сумма равна 180°.
12) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
13) сумма углов треугольника равна 180°.
14) отрезок, проведенный из точки к прямой под углом, отличным от прямого, называется наклонной.
15) расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой – отрезок, проведенный перпендикулярно между этими прямыми.