Давление твёрдых тел на поверхность рассчитывается по формуле p = F/S , где p — давление, F — сила давления, S — площадь опоры. Рассчитайте, какое давление оказывает на поверхность стола ваза с цветами, если её масса равна 800 г, а основание вазы — ромб, диагонали которого равны 20 см и 25 см.
Задача в одно действие. Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M; Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM; На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M. Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM; То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA; Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.
Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.
По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем: ;
Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:
Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:
Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:
Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M;
Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM;
На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M.
Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM;
То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA;
Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.
По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
;
Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:
Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:
Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:
Выражаем R и подставляем выражение для синуса:
ответ: радиус вписанной окружности ; радиус описанной окружности