Дано : ABCD - параллелограмм Пусть ∠A =∠C _острые углы ; AB =BD = 8 ; AC =8√2 .
S(ABCD) -?
Пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) . * * *т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам* * * Треугольник ABO определен однозначно по трем сторонам и его площадь можно вычислить разными например, по формуле Герона: S(∆ABO) = √p( p-a)(p-b)(p-c) , где p=(a +b+c)/2 _полупериметр . * * *a =AO = AC/2 =4√2 , b=BO =BD/2 =4, c =AB=8 , p =6+2√2 * * * S(∆ABO)=√(6+2√2)(6-2√2)(2√2+2)(2√2-2)=4√(3+√2)(3-√2)(√2+1)(√2+1)=4√7. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) =4*4√7=16√7 кв.ед.
Второй
Для параллелограмма : 2(AB² +AD²) =AC²+BD² ; 2(8² +BC²) = (8√2)² +8² ⇒ AD =4√2 . S(ABCD) =AD*h,а высоту h удобно определить из равнобедренного ΔABD . h = √(AB² -(AD/2)²) =√(8² -(2√2)²) =2√2 *√7.
Объяснение: Диагонали ромба - биссектрисы его углов. В прямоугольном треугольнике АВК отношение гипотенузы АВ к катету ВК равно отношению отрезков. на которые биссектриса угла А делит высоту ВК: АВ:АК=5:3 - это отношение гипотенузы и катета «египетского» треугольника. Тогда ВК:АВ=4:5, Т.к. ВК=3+5=8, АВ=AD=10 см. Ѕ=ВК•AD=8˙10=80 см²
Или:
В ∆ АВК биссектриса АМ делит сторону ВК в отношении сторон, между которыми она проведена. Т.е. АВ:АК=ВМ:МК. Примем коэффициент отношения сторон равным а. Тогда АК=3а, АВ=5а.
По т.Пифагора АВ²-АК²=ВК².
ВК=ВМ+МК=5+3=8⇒
25а²-9а²=64
16а²=64, а*=4, а=√4=2
Сторона ромба =2•5=10
Площадь ромба равна произведению высоты на сторону.
Дано :
ABCD - параллелограмм
Пусть ∠A =∠C _острые углы ;
AB =BD = 8 ;
AC =8√2 .
S(ABCD) -?
Пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) .
* * *т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам* * * Треугольник ABO определен однозначно по трем сторонам и его площадь можно вычислить разными например, по формуле Герона:
S(∆ABO) = √p( p-a)(p-b)(p-c) , где p=(a +b+c)/2 _полупериметр .
* * *a =AO = AC/2 =4√2 , b=BO =BD/2 =4, c =AB=8 , p =6+2√2 * * * S(∆ABO)=√(6+2√2)(6-2√2)(2√2+2)(2√2-2)=4√(3+√2)(3-√2)(√2+1)(√2+1)=4√7.
S(ABCD) =4*S(∆ ABO) =4*4√7=16√7 кв.ед.
Второй
Для параллелограмма : 2(AB² +AD²) =AC²+BD² ;
2(8² +BC²) = (8√2)² +8² ⇒ AD =4√2 .
S(ABCD) =AD*h,а высоту h удобно определить из равнобедренного ΔABD .
h = √(AB² -(AD/2)²) =√(8² -(2√2)²) =2√2 *√7.
S(ABCD) =AD*h =4√2*2√2 *√7=16√7 кв.ед.
ответ : 16√7 кв.ед.
ответ: 80 см²
Объяснение: Диагонали ромба - биссектрисы его углов. В прямоугольном треугольнике АВК отношение гипотенузы АВ к катету ВК равно отношению отрезков. на которые биссектриса угла А делит высоту ВК: АВ:АК=5:3 - это отношение гипотенузы и катета «египетского» треугольника. Тогда ВК:АВ=4:5, Т.к. ВК=3+5=8, АВ=AD=10 см. Ѕ=ВК•AD=8˙10=80 см²
Или:
В ∆ АВК биссектриса АМ делит сторону ВК в отношении сторон, между которыми она проведена. Т.е. АВ:АК=ВМ:МК. Примем коэффициент отношения сторон равным а. Тогда АК=3а, АВ=5а.
По т.Пифагора АВ²-АК²=ВК².
ВК=ВМ+МК=5+3=8⇒
25а²-9а²=64
16а²=64, а*=4, а=√4=2
Сторона ромба =2•5=10
Площадь ромба равна произведению высоты на сторону.
Ѕ=АD•АК=10•8=80 см²