Это очень просто всё. Для начала надо найти высоту BM к основанию AC. M - середина AC. Ясно, что она "режет" треугольник на два "египетских" (со сторонами 9,12,15), то есть равна 12. Эта высота к тому же медиана и биссектриса. Все точки в задаче лежат на ней. 1) поэтому от основания до точки пересечения медиан G будет MG = 12/3 = 4; точка пересечения биссектрис I находится так BI/IM = AB/AM = 15/9; => MI = BM*9/(15 + 9) = 12*3/8 = 9/2; отсюда IG = MI - MG = 1/2; 2) тут есть множество решить. Мне нравится рассуждать так. Если продлить AM до пересечения с описанной окружностью в точке B1, то AM*MC = BM*MB1; 9^2 = 12*MB1; MB1 = 27/4; BB1 = 12 + 27/4 = 75/4; Это диаметр описанной окружности (центр O). Радиус OB = 75/8; Поэтому MO = 12 - 75/8 = (96 - 75)/8 = 21/8;
как-то так, проверяйте. Полезно помнить, что в остроугольных треугольниках отношение r/R близко к 2 (у равностороннего точно равно 2); в данном случае r = 9/2; R = 75/8; r/R = 12/25;
AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) . Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу . 5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 . Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь . здесь удобно S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14 (прим формула Герона).
Для начала надо найти высоту BM к основанию AC. M - середина AC.
Ясно, что она "режет" треугольник на два "египетских" (со сторонами 9,12,15), то есть равна 12.
Эта высота к тому же медиана и биссектриса. Все точки в задаче лежат на ней.
1) поэтому от основания до точки пересечения медиан G будет
MG = 12/3 = 4;
точка пересечения биссектрис I находится так
BI/IM = AB/AM = 15/9; => MI = BM*9/(15 + 9) = 12*3/8 = 9/2;
отсюда
IG = MI - MG = 1/2;
2) тут есть множество решить. Мне нравится рассуждать так. Если продлить AM до пересечения с описанной окружностью в точке B1, то
AM*MC = BM*MB1; 9^2 = 12*MB1; MB1 = 27/4; BB1 = 12 + 27/4 = 75/4;
Это диаметр описанной окружности (центр O). Радиус OB = 75/8;
Поэтому MO = 12 - 75/8 = (96 - 75)/8 = 21/8;
как-то так, проверяйте. Полезно помнить, что в остроугольных треугольниках отношение r/R близко к 2 (у равностороннего точно равно 2); в данном случае
r = 9/2; R = 75/8; r/R = 12/25;
S=S(ABC) - ?
обозн. <AMB =α .
Из треугольника AMB по теореме косинусов:
AB² = AM² +MB² -2AM*MB*cosα ( 1) ;
аналогично из ΔAMB:
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α ) ⇔
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα (2) ;
складывая (1) и (2) получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔ AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;
AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) . Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14 (прим формула Герона).
ответ : 4√14 кв. ед.